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等差数列的前n项和
杜修梅 姜娟 张海波
基点填充
?a?为等差数列，若m,n,p,q?N*，且a ?a ?a ?a，则一定有
n m n p q
若实数a,b的等差中项为G，则G?
等差数列?a
n
?的公差为前n项和为S
，那么数列S,S
n k 2k
S ,S
3k 3k
?S ,k?N*是
? ?
? ?
等差数列，其公差等于
若等差数列的项数为?2n?1?项，则S ?2n?1?
2n?1
可用一句话描述为项数是奇数的等差数列的前项和等于项数乘以
等差数列的项数为2n，首项为a，公差为d，则S ?S ? ，
1 偶 奇
?S
?
偶
S
奇
基础自测
在等差数列?a
n
?中，已知a
3
?2，则该数列前5项和为 （ ）
A. 10 B.16 C20 D.32
在等差数列?a
n
A. 40
?中，已知a?a
?100，a ?a
?80则a ?a ? （ ）
1234
1
2
3
4
5
6
B.50
C60
D.70
n
?中，已知公差为1，且a?a
1 2
?a ?a
98 99
?99，则
a ?a
3 6
?a ?a ?
9 99
典例导析
题型一 等差数列的简单性质及应用
例1 已知公差大于零的等差数列?a
n
?中，前n项和为S
，且满足
n
a ?a
3 4
?117，a ?a
2 5
S
?22
（1）求通项a；
n
（2）b ? n ，若b
为等差数列，求非零常数
n n?c n
即时突破1
是否存在数列?a
n
?，同时满足下列条件？
（1）?a
n
?是等差数列，且公差不为零；
?1?
（2）
? ?数列也是等差数列；
a? n?
a
若存在，求出其通项公式；若不存在，说明理由
? ?题型二 等差数列的前n
? ?
例2 数列?a
n
?的前n项和S
n
?100n?n2n?N*
判断?a
n
?是否为等差数列，若是，求其首项，公差。
设b
n
?a ,求?b
n n
?的前n项和
即时突破2
已知数列?a
n
?的通项公式是a
n
?4n?25，求数列?a
?的前n项和
n
题型三 有关等差数列的应用题
例3甲乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m.
甲乙开始运动后几分钟相遇？
如果甲乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m. 那么甲乙开始运动几分钟第二次相遇？
即时突破3
用分期付款的方式购买家电一件，价格为1150元，购买当天先付款150元，以后每月这一天都支付50元，并加付欠款利息，月利率为1%，若付150元后的第
一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月该交付多少钱？全部货款付清后，买这件家电实际花费多少钱？
易错题型
例3 数列?a
n
?的前n项和S
n
?3n2?n?2?n?N*?，求?a
n
?的通项公式
三维演练
1.已知等差数列?a
n
2，已知等差数列?a
n
?中，a2
3
?中
a2
8
2aa
3 8
?9,且a
n
?0,则S ?
10
公差d?
1，S
2
100
?145则a ?a ?a
1 3 5
??a
的值为
99
3.已知等差数列?a
n
?中，d??0.6，a
1
?50
从第几项开始有an?0?
求此数列的前n项和的最大值。
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