三节极限存在准则与两个重要.pptxVIP

准则I(函数夹逼定理)则1.3极限存在准则与两个重要极限这一节介绍两个极限存在准则,并用它们证明两个重要的极限.的某个空心邻域内有定义,且满足以下条件:在x0

证所以是无穷小，所以由有由有

如果数列及满足以下条件:则注意:利用夹逼准则求极限关键是构造出准则I(数列夹逼定理)

例1求解由夹逼定理得

例2证明证则从而即故而所以

第一个重要极限:证于是作单位圆O,作单位圆的切线AC,

即由夹逼定理于是所以

解例3求

解原式例4求第一个重要极限对于复合函数有其中的非零无穷小.

解故例5求

单调增加单调减少单调数列几何解释:准则II单调有界数列必有极限.准则II(函数形式)若函数是I上的单调函数,则它在I内每一点的单侧极限存在.如果数列满足:

于是即解例6求由为常数,且有下界0,说明n足够大后,数列单调减少,所以

第二个重要极限:我们利用不等式从而该数列有极限.证明数列单调增加,并且有上界，

对于正整数n,有即所以数列是严格单调增加的;

所以数列是严格单调递降的.又由于所以于是

于是从而数列单调增加,并且有上界,由极限存在准则II,(e=2.360287471352???)

证(2)先证从而而

再证由夹逼定理得令

综合上述,有第二个重要极限另一常用形式令

解解例7求例8求

解1于是例9求令

解2

*柯西极限存在准则单调有界数列必有极限,的数列一定有界却不一定单调.但反过来,有极限数列收敛的充分必要条件是：柯西极限存在准则必有极限这一结论出发可以得到数列收敛的一个从单调有界数列充分必要条件.