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§3.2导数的应用(一)
函数的单调性与导数的关系
(1)设函数y=f(x)在某个区间内可导,则
①f′(x)0 f(x)为增函数;
②f′(x)0 f(x)为减函数;
③f′(x)=0 f(x)为常数函数.(2)求函数单调区间的基本步骤
①确定函数f(x)的定义域.
②求导数f′(x).
③由f′(x)0(或f′(x)0),解出相应的x的范围.
当f′(x)0时,f(x)在相应的区间上是增函数;当f′(x)0时,f(x)在相应区间上是减函数.[注]还可以通过列表写出函数的单调区间.
函数的极值与导数的关系
函数的极小值
函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f′(a)=0;而且在点x=a附近的左侧f′(x)0,右侧f′(x)0,则点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.
函数的极大值
函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近的其他点的函数值都大,f′(b)=0;而且在点x=b附近的左侧f′(x)0,右侧f′(x)0,则点b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.极小值点,极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.
求函数极值的步骤
①求导数f′(x);
②求方程f′(x)=0的根;
③检查f′(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取极小值.
§3.3 导数的应用(二)
函数的最值
在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.
若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.
设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤如下:
①求f(x)在(a,b)内的极值;
②将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
分析实际问题中各变量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系y=f(x).
求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0.
比较函数在区间端点和f′(x)=0的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.
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