导数的应用知识点对接.docx

§3.2导数的应用(一)

函数的单调性与导数的关系

(1)设函数y=f(x)在某个区间内可导,则

①f′(x)0 f(x)为增函数;

②f′(x)0 f(x)为减函数;

③f′(x)=0 f(x)为常数函数.(2)求函数单调区间的基本步骤

①确定函数f(x)的定义域.

②求导数f′(x).

③由f′(x)0(或f′(x)0),解出相应的x的范围.

当f′(x)0时,f(x)在相应的区间上是增函数;当f′(x)0时,f(x)在相应区间上是减函数.[注]还可以通过列表写出函数的单调区间.

函数的极值与导数的关系

函数的极小值

函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f′(a)=0;而且在点x=a附近的左侧f′(x)0,右侧f′(x)0,则点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.

函数的极大值

函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近的其他点的函数值都大,f′(b)=0;而且在点x=b附近的左侧f′(x)0,右侧f′(x)0,则点b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.极小值点,极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.

求函数极值的步骤

①求导数f′(x);

②求方程f′(x)=0的根;

③检查f′(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取极小值.

§3.3 导数的应用(二)

函数的最值

在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值.

若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.

设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：

①求f(x)在(a，b)内的极值；

②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤

分析实际问题中各变量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x).

求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0.

比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值.