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第一章预备知识

数学受到高度尊崇的另一个原因在于：恰恰是数学，给精密的自然科学提供了无可置疑的可靠保证，没有数学，它们无法达到这样的可靠程度。

——爱因斯坦

为了不同数学基础的同学能在同一起点学习本课程的内容做好必要的准备，在学习本课程内容之前，我们先安排了在经济数学中常用的一些初等数学知识的复习，数学基础好的同学可跳过本章，直接进入下一章的学习。

第一节集合与区间

一、常用集合的有关符号

?表示空集。 N表示非负整数集，即自然数集。

N?表示正整数集。 Z表示整数集。

Q表示有理数集。 R表示实数集。

A?B表示集合A是集合B的子集。 A?B表示集合A与集合B的并集。

A?B表示集合A与集合B的交集。 A?B表示属于集合A不属于集合B的集合。二、 区间

(一)、将满足不等式a?x?b的所有实数x组成的集合叫做以a,b为端点的闭区间，记作?a,b?。即?a,b?=?xa?x?b?。

(二)、将满足不等式a?x?b的所有实数x组成的集合叫做以a,b为端点的开区间，记作?a,b?。即?a,b?=?xa?x?b?。

(三)、将满足不等式a?x?b的所有实数x组成的集合叫做以a,b为端点的左开右闭区间，记作?a,b?。即?a,b?=?xa?x?b?。

(四)、将满足不等式a?x?b的所有实数x的集合叫做a,b为端点的右开左闭区间，记作?a,b?。即?a,b?=?xa?x?b?。

以上定义的四个区间统称为有限区间。以下定义的五个区间统称为无穷区间。

(五)、?a,?????xx?a?表示满足不等式x?a的全体实数。

(六)、?a,?????xx?a?，表示满足不等式x?a的全体实数。

(七)、???,a???xx?a?，表示满足不等式x?a的全体实数。

（八）、???,a???xx?a?，表示满足不等式x?a的全体实数。

（九）、???,?????x???x????，表示全体实数。其中??读作“正无穷大”，??读作“负无穷大”。

第二节基本初等函数的图象及其基本特征

一、基本初等函数

基本初等函数是指以下的六类函数，在中学这些函数已经学习过，这一节我们将其归类进行总结。为了后面经济数学的学习，有必要了解和掌握好它们。

(一)、幂函数y=xa（a为任意常数)

y=xa的定义域和值域因a的不同而不同，但在(0，+∞）内都有定义，且图形经过点(1，1)．图1????给出了常见的几个幂函数的图形．

幂函数与分式、根式有如下关系：

图1????

幂函数表示

幂函数表示

分式表示

根式表示

x n(m,n为正整数）

m

1

1

m

xn

nxm

m

xn(m,n为正整数）

xm

xn

nxm

根据上述关系，幂函数和分式、根式可以互相转换。

3x2

3x2

例如：幂函数转换成分式、根式： x3?

1

x?2?

x2

（二）、指数函数y?ax(a0，且a?1）

y?ax定义域是???,???,值域是（0，??）。它的图象过点（0，1）且全部在x轴上方，当0?a?1

时，图象是减函数且无界；当a?1时， 图1.2.2

图象是增函数且无界。（如图1.2.2）

特别值得注意的是指数函数与幂函数的区别：

在幂函数y?x?中，底数为自变量，指数?是常数而在指数函数y?ax中，底是常数a，指数为自变量。

(三)、对数函数y?log

a

x(a?0,且a?1)

其定义域是（0，+?），值域为???,???图象过点（1，0）；

当0?a?1时，图象在（0，+?）上是减函数且无界；当

a?1时，图象在（0，+?）是增函数且无界（如图1.2.3）

注：（1）对数函数y?log

a

图1.2.3

x和指数函数y?ax互为反函数，它们的图象关于y?x对称。

（2）以无理数e?2.7182818 为底的对数函数y?log

e

x叫做自然对数函数，简记

y?lnx，在实际问题中常遇见，是微积分中研究的重要函数之一。

（三）三角函数