2024长沙中考数学二轮专题复习 题型四 圆的综合题 (含答案).pdf

2024长沙中考数学二轮专题复习题型四圆的综合题

类型一与圆的基本性质结合

典例精讲

例已知A、B、C是⊙O上的三点，AB＝AC，∠BAC＝120°.

(1)如图①，连接OA，OB，求证：△ABO是等边三角形；

例题图①

【思维教练】利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形进行求证．

(2)连接BC，若⊙O的半径为23，求线段BC的长；

【思维教练】连接OB，OA，利用垂径定理求解．

(3)如图②，若点D是∠BAC所对弧上的一动点，连接DA，DB，DC.

①探究DA，DB，DC三者之间的数量关系，并说明理由；

②若AB＝3，点E是CD的中点，当点D从点B运动到点C时，求点E的运动路径长．

例题图②

【思维教练】①将△ABD绕点A逆时针旋转120°，结合圆内接四边形及三角函数求解；

②点D为主动点，点E为从动点，由点D的运动轨迹可知点E的运动轨迹也为圆弧，找出

圆心及半径，利用弧长公式求解．

针对训练

1.(2023长沙25题10分)如图，点O为以AB为直径的半圆的圆心，点M，N在直径AB上，

︵︵

点P，Q在AB上，四边形MNPQ为正方形，点C在QP上运动(点C与点P，Q不重合)，连

接BC并延长交MQ的延长线于点D，连接AC交MQ于点E，连接OQ.

(1)求sin∠AOQ的值；

AM

(2)求的值；

MN

(3)令ME＝x，QD＝y，直径AB＝2R(R0，R是常数)，求y关于x的函数解析式，并指明

自变量x的取值范围．

第1题图

︵

2.(2022长沙25题10分)如图，半径为4的⊙O中，弦AB的长度为43，点C是劣弧AB上

的一个动点，点D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，连接DE、OD、OE.

(1)求∠AOB的度数；

︵

(2)当点C沿着劣弧AB从点A开始，逆时针运动到点B时，求△ODE的外心P所经过的路

径的长度；

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(3)分别记△ODE，△CDE的面积为S，S，当S－S＝21时，求弦AC的长度．

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第2题图

类型二与切线的性质结合

(10年3考)

典例精讲

例如图，AB是⊙O的直径，AB＝16，点C在⊙O的半径OA上运动，PC⊥AB，垂足为C，

PC＝10，PT为⊙O的切线，切点为T，连接OP.

(1)当C点运动到O点时．

①求PT的长；

②延长AB、PT，交于点D，求证：△POT∽△PDO；

例题图

【思维教练】①运用勾股定理求解；

②运用切线的性质证明两三角形的角相等，即可求证．

(2)当C点运动到A点时，连接BT，求证：PO∥BT；

【思维教练】证明两三角形全等，得到等弧所对的圆心角、圆周角之间的关系，利用同位角

相等，两直线平行求证．

(3)设PT＝y，AC＝x，求y关于x的函数解析式，并求出y的最小值．

【思维教练】运用切线的性质及勾股定理求解．

针对训练

1.(2023长沙模拟)如图，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点(不与O，B重合)，作

EC⊥OB，交⊙O于点C，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于

点F，连接CB.

(1)求证：AC平分∠FAB；

2

(2)求证：BC＝CE·CP；

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