2024长沙中考数学二轮专题复习 题型二 几何证明与计算 (含答案).docx

2024长沙中考数学二轮专题复习题型二几何证明与计算

类型一与全等有关的证明与计算

典例精讲

例如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝2，点E是AD边上一点(点E不与点A、D重合)，点F在AB的延长线上，且BF＝DE，连接EF交BD于点G.

(1)求证：△BDE≌△CBF；

【思维教练】在含60°角的菱形中常利用等边三角形性质，找到等边和等角，利用SAS证明全等．

(2)当BE⊥AD时，求CF的长；

【思维教练】出现垂直和60°角时，考虑用三角函数求线段长．

(3)求证：EG＝FG；

【思维教练】过点E作BF的平行线，构造8字型全等，利用全等三角形的性质证明边相等．

(4)设DE＝x，DG＝y，求y关于x的函数表达式，并直接写出x的取值范围．

例题图

【思维教练】表示出线段BG的长度，结合等边三角形性质及(3)中结论，得到等式，转化求解．

针对训练

1.如图①，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是AB上一点，连接CD，过点B作BF⊥CD，与CD的延长线交于点E，交CA的延长线于点F，连接AE，过点A作AG⊥AE交CD于点G.

(1)求证：CD＝BF；

(2)如图②，若D是AB的中点．求证：DG＝DE＋BE.

第1题图

2.如图，在正方形ABCD中，E是BC边上一点(不与B、C重合)，将正方形ABCD沿AE折叠，使点B落在点F处，延长EF交CD于点G，连接AG.

(1)求证：△ADG≌△AFG；

(2)若AB＝2.

①求△CEG的周长；

②若点E是BC的中点，EM是∠CEG的平分线，求GM的长．

第2题图

类型二与相似有关的证明与计算

典例精讲

例如图，在矩形ABCD中，AB＝12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，点B的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E，且E在AD上，BE交PC于点F.

(1)求证：BP＝BF；

【思维教练】由折叠的性质及等角对等边求证．

(2)若AD＝25，且AE＜DE.

①求AE的长；

②求tan∠PCB的值；

【思维教练】①利用等角的余角相等及相似三角形的性质求解；

②利用折叠和相似的性质求解．

(3)当BP＝9时，直接写出BE·EF的值．

例题图

【思维教练】要求BE·EF，则可作辅助线构造包含BE、EF线段的三角形相似求解．

针对训练

1.(2023长沙黑白卷)如图，在正方形ABCD中，AB＝4，连接BD，点H是BD上一点，连接AH并延长交BC边于点G，过点D作DE⊥AG于点E，过点B作BF⊥AG于点F.

(1)求证：△ABF≌△DAE；

(2)若EF＝2eq\r(3)－2，求eq\f(BF,DE)；

(3)设△AHD和四边形CDHG的面积分别为S1和S2，若eq\f(S1,S2)＝eq\f(4,5)，求BG的长．

第1题图

2.(2023长沙开福区一模)如图，在矩形ABCD中，AC为矩形ABCD的对角线，DG⊥AC于点G，DG的延长线交AB于点E，已知AD＝6，CD＝8.

(1)求AE的长；

(2)∠ACD的平分线CF交AD于点F，求tan∠DCF的值；

(3)若O1、O2分别是△ADG、△DCG的内心，求O1、O2两点间的距离．

第2题图

参考答案

类型一与全等有关的证明与计算

例(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AD＝AB＝BC＝DC.

∵∠A＝60°，

∴△ABD，△BCD都是等边三角形．

∴DB＝BC，∠CBF＝∠BDE＝60°，

在△BDE和△CBF中，

eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(DB＝BC,∠BDE＝∠CBF,DE＝BF))，

∴△BDE≌△CBF(SAS)；

(2)解：由(1)知△BDE≌△CBF，

∴CF＝BE，当BE⊥AD时，∵AD＝2，∠A＝60°，四边形ABCD为菱形．

∴BD＝AD＝2，∠EDB＝60°，

∴BE＝BD·sin60°＝eq\r(3).

∴CF＝eq\r(3)；

(3)证明：如解图，过点E作EH∥AB，交BD于点H.

例题解图

∴∠DEH＝∠A＝60°，

又∵∠ADB＝60°，

∴△DEH是等边三角形，

∴EH＝DH＝DE，

∵BF＝DE，

∴EH＝BF.

∵EH∥AB.

∴∠HEG＝∠BFG，∠EHG＝∠FBG，

∴△EHG≌△FBG(ASA)，

∴EG＝FG；

(4)解：如解图，∵△ADB是等边三角形．

∴DB＝AD＝2，

∵DG＝y，

∴GB＝2－y，

∵DH＝DE＝x，

∴HG＝DG－DH＝y－x.

由(3)得△EHG≌△FBG，

∴HG＝BG.

∴y－x＝2－y，

∴y＝eq\f(1,2)x＋1，x的取值范围为0＜x＜2.

1.证明：(1)∵∠BAC＝90°，

∴∠BAF＝∠BAC＝90°，

∴∠F＋∠ABF＝90°，

∵BF⊥CD，

∴∠