高等数学二试题及完全解析.docx

2018年全国硕士研究生入学统一考试

数学二考研真题与全面解析（Word版）

x2一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.

x2

?若limex

?

x?0

ax2

bx

?1 ?1，则（）

1 1 1 1

（A）a? ,b??1（B）a?? ,b??1（C）a? ,b?1（D）a?? ,b?1

2 2 2 2

【答案】(B)

【解析】由重要极限可得

? ?1 ? ?1

1?lim ex?ax2?bx x2?lim1?(ex?ax2?bx?1)x2

x?0 x?0

? ? 1 ?ex?ax2?bx?1

limex?ax2?bx?1，

?lim

x?0

1?(ex?ax2?bx?1)

1

ex?ax2?bx?1

x2 ?ex?0 x2

因此，limex

ax2?bx?1?0?lim

x? x2?ax2?bx??(x2)

2 ?0

x?0 x2 x?0 x2

或用“洛必达”：limex?ax2?bx?1?0?limex?2ax?b?(??b????1?)

limex?2a

?1?2a

?0，

x?0 x2

x?0 2x

x?0 2 2

1故a? ,b??1，选（B）.

1

2

下列函数中在x?0处不可导的是（）

x（A）f(x)?xsinx（B）f(x)?xsin

x

xf(x)?cosx（D）f(x)?cos

x

【答案】(D)

【解析】根据导数定义，A.lim

f(x)?f(0)?lim ?limx x

?0，可导；

xsinxx?0 x

xsinx

x?0 x

x?0 x

lim

f(x)?f(0)?lim ?limx x

?0,可导；

xsin xx?0

xsin x

x?0 x

x?0 x

f(x)?f(0)

x2

cosx?112xlim ?lim ?lim ?0

cosx?1

1

2

x

?x?0 x

?

x?0

?1?

x?0 x

cos x?112x2

cos x?1

1

2

x

lim ?lim 2 ?lim

，极限不存在。故选（D）.

x?0 x

x?0 x

x?0 x

???1,x?0

?

?2?ax, x??1

设函数f(x)??

，g(x)??x,?1?x?0 ，若f(x)?g(x)在R上连续，则（）.

??1,x?0

?

?x?b, x?0

（A）a?3,b?1（B）a?3,b?2（C）a??3,b?1（D）a??3,b?2

【答案】（D）

?1?ax, x??1

?【解析】令F(x)?f(x)?g(x)??x?1,?1?x?0，

?

??x?b?1, x?0

?

则F(?1)?1?a,F(0)?1?b,F(?1?0)??2,F(0?0)??1,

因为函数连续，所以极限值等于函数值，即1?a??2,1?b??1?a??3,b?2，故选（D）.

设函数

f(x)在[0,1]上二阶可导。且?1

0

f(x)dx?0，则（）

（A）当f

?(x)?0时，f(1)?0（B）当f

??(x)?0时，f(1)?0

（C）当

2 2

f?(x)?0时，f(1)?0（D）当f??(x)?0时，f(1)?0

2 2

【答案】（D）

【解析一】有高于一阶导数的信息时，优先考虑“泰勒展开”。从选项中判断，展开点为

1

x ? 。

0 2

1

将函数

f(x)在x

0

? 处展开，有

2

1 1 1 f?(?) 1 1

f(x)?f( )?f?( )(x? )? (x? )2，其中 ?? ?x。

2 2 2 2! 2 2

两边积分，得

1 1f?(?) 1

?f( )?? (x? )2dx，

2 0 2! 2

1f?(?) 1 1