第8讲 一元二次方程综合.docx

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第八讲 一元二次方程综合（一）

典型例题

例1 已知关于x的方程(k2?1)x2

?(k?1)x?2?0。

当k取何值时，此方程为一元一次方程？并求出此方程的根。

当k取何值时，此方程为一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项。

例2 已知关于x的方程x2?x?3m?0与x2?mx?3?0有一个相同的实数根，求m的值。

例3 设?是方程x2

?3x?1?0的一个根，则求?2?2????1 的值。

?3?3?2

例4 若方程x2

?px?q?0的两根之差与方程x2

?qx?p?0(p?q)的两根之差相等，

求p、q之间的关系。

例5 已知?、?是关于x的方程x2

的值。

?(m?2)x?1?0的两根，求(1?m???2)(1?m???2)

练习题

已知?、?满足?2

?2??7?0，?2?2??7?0(???)求?2?3?2

?4?

的值。

已知a

?2,b?2试判断关于x的方程x2?(a?b)x?ab?0与x2?abx?(a?b)?0

有没有公共根，请说明理由。

3．已知x ，x

1 2

是关于

x的方程x2

?6x?k?0

的两个实数根，且

x2?x2

1 2

x?x

1 2

?115；

求k的值。

求x2

1

x2

2

8的值。

已知x，x

1 2

是一元二次方程ax2

bx?c?0(a?0,c?0)的两个实数根，且

x m

1? (m?0,n?0)

x n

2

试用m和n表示b2；

ac

是否存在实数m

和n，满足x

1x

1

2

?m，使b2

n ac

?6成立？若存在，求出m和

5

n的值；若不存在，请说明理由。

已知a,b,c为△ABC的三边，且方程(x?a)(x?b)?(x?b)(x?c)?(x?c)(x?a)?0

有两相等实根，试判定△ABC的形状。

已知x，x

1 2

是一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的两个实数根，试证明以下

结论：

若a?b?c

?0,则x

1

?1,x

2

?c；反之，若xa 1

?1,x

2

?c，则a?b?c

a

?0,

若a?b?c

?0,则x

1

c

??1,x ??

2 a

；反之，若x

1

c

??1,x ??

2 a

，则a?b?c? 0。

小课堂

数学也被叫做巴比伦

数字记录的最早物证，是在南部非洲斯威士兰王国出土的一块刻有29道清晰的V字形刻痕的狒狒的腓骨。这一记录的年代大约是公元前35000年，它与纳米比亚现今仍在用于记录时间变迁的日历棒类似。而最令人感兴趣的一个发现是所谓的伊尚戈骨，发现于乌干达与扎伊尔间的爱德华湖边，年代大约是公元前20000年。

它不单单是记账棒，显微镜分析显示出似乎是与月相相关的痕迹。也许出自宗教的需要，预报满月、记录月亮的轨迹，是新石器人非常关心的事情。实际上数学始终贯穿于天文学、占星术和宇宙学，对它的发展影响最大的可能就是天体。

人类最早的数学资料主要来源于远古的巴比伦帝国（公元前1900年--前1600

年），所以数学也经常被叫做巴比伦。现在使用的十进制数字体系是一种以10为基

的位－值体系。换句话说，在某个位的10个单位等价于相邻高位的一个单位。而一

个数中，数字的位置决定它的值。最早的文字记载显示巴比伦人使用的是以60为基的六十进制数字体系。六十进制迄今为止仍用于计时。使用六十进制，巴比伦人把75表示成1，15，这和我们把75分钟写成1小时15分钟是一样的。大约公元前

2000年出现了一种仅使用两个楔形符号的以60为基的位－值体系，在该体系中，

T形的楔形文字表示1，〈形的楔形文字表示10。这一数字体系被进一步推广到六十进制分数的表示上，但是没有表示0的符号。尽管如此，它对计算是非常有效的。同