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备战2022年中考数学一轮复习专题讲义+强化训练(全国通用)
第十七讲三角形全等
考点一手拉手模型证全等2
考点二倍长中线证全等7
考点三手拉手+倍长中线模型14
考点四半角模型证全等21
考点五三垂直模型证全等27
考点六对角互补模型证全等32
考点一手拉手模型证全等
1.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC=180°,点E、F分别在直线BC、CD
上,且∠EAF=∠BAD.
(1)当点E、F分别在边BC、CD上时(如图1),请说明EF=BE+FD的理由;
(2)当点E、F分别在边BC、CD延长线上时(如图2),(1)中的结论是否仍然成立?
若成立,请说明理由;若不成立,请写出EF、BE、FD之间的数量关系,并说明理由.
【解答】解:(1)EF=BE+DF,
理由:延长EB至G,使BG=DF,连接AG,
∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ABC+∠ABG=180°,
∴∠ADC=∠ABG,
在△ABG和△ADF中,
,
∴△ABG≌△ADF(SAS),
∴AG=AF,∠BAG=∠DAF,
∵∠EAF=∠BAD,
∴∠BAE+∠DAF=∠BAE+∠BAG=∠EAF,
即∠EAG=∠EAF,
在△EAG和△EAF中,
,
∴△EAG≌△EAF(SAS),
∴GE=EF,
∴EF=BE+DF;
(2)(1)中结论不成立,EF=BE﹣FD,
在BE上截取BM=DF,连接AM,
∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ADC+∠ADF=180°,
∴∠ABC=∠ADF,
在△ABM和△ADF中,
,
∴△ABM≌△ADF(SAS),
∴AM=AF,∠BAM=∠DAF,
∵∠BAM+∠MAD=∠DAF+∠MAD,
∴∠BAD=∠MAF,
∵∠EAF=∠BAD,
∴∠EAF=∠MAF,
∴∠EAF=∠EAM,
在△AME和△AFE中,
,
∴△AME≌△AFE(SAS),
∴ME=EF,
∴ME=BE﹣BM=BE﹣DF,
∴EF=BE﹣FD.
2.如图,已知∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AE=AC.
(1)△ABC与△ADE全等吗?请说明理由;
(2)若AF⊥CB,垂足为F,请说明线段2CF=CE;
(3)在(2)的基础上,猜想线段BF,DE,CD存在的数量关系,并直接写出结论.
【解答】解:(1)△ABC≌△ADE,理由如下:
如图1,∵∠BAD=∠CAE=90°,
∴∠BAC=∠DAE=90°﹣∠CAD,
在△ABC和△ADE中,
,
∴△ABC≌△ADE(SAS).
(2)如图2,作AG⊥BC于点G,则∠AGC=∠AGE=90°,
∵AC=AE,AG=AG,
∴Rt△AGC≌Rt△AGE(HL),
∴CG=EG=CE,∠CAG=∠EAG=∠CAE=45°,
∴∠ACG=∠E=45°,
∵△ABC≌△ADE,
∴∠ACF=∠E=45°,
∵AF⊥CB,
∴∠F=90°,
∴∠CAF=45°,
∵∠ACF=∠ACG=45°,AC=AC,∠CAF=∠CAG=45°,
∴△CAF≌△CAG,
∴CF=CG=CE,
∴2CF=CE.
(3)BF=(CD﹣DE),理由如下:
如图2,由(2)得,CF=C
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