第十九讲 矩形、菱形、正方形（解析版）.pdfVIP

第十九讲矩形、菱形、正方形

命题点1矩形的相关证明与计算

1．（2022•陕西）在下列条件中，能够判定▱ABCD为矩形的是（）

A．AB＝ADB．AC⊥BDC．AB＝ACD．AC＝BD

【答案】D

【解答】解：A．∵▱ABCD中，AB＝AD，

∴▱ABCD是菱形，故选项A不符合题意；

B．∵▱ABCD中，AC⊥BD，

∴▱ABCD是菱形，故选项B不符合题意；

C．▱ABCD中，AB＝AC，不能判定▱ABCD是矩形，故选项C不符合题意；

D．∵▱ABCD中，AC＝BD，

∴▱ABCD是矩形，故选项D符合题意；

故选：D．

2．（2022•青海）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线交AD，

BC于点E，F，若AB＝3，BC＝4，则图中阴影部分的面积为．

【答案】6

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，

∴OA＝OC，AB＝CD＝3，AD∥BC，

∴∠AEO＝∠CFO；

又∵∠AOE＝∠COF，

在△AOE和△COF中，

，

∴△AOE≌△COF，

∴S△AOE＝S△COF，

∴S阴影＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△COF+S△BOF+S△COD＝S△BCD，

∵S△BCD＝BC•CD＝＝6，

∴S阴影＝6．

故答案为6．

3．（2022•吉林）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是

边AD的中点，点F在对角线AC上，且AF＝AC，连接EF．若AC＝10，

则EF＝．

【答案】

【解答】解：在矩形ABCD中，AO＝OC＝AC，AC＝BD＝10，

∵AF＝AC，

∴AF＝AO，

∴点F为AO中点，

又∵点E为边AD的中点，

∴EF为△AOD的中位线，

∴EF＝OD＝BD＝．

故答案为：．

4.（2021•邵阳）如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足为点E．若sin∠ADE＝

，AD＝4，则AB的长为．

【答案】3

【解答】解：∵DE⊥AC，

∴∠ADE+∠CAD＝90°，

∵∠ACD+∠CAD＝90°，

∴∠ACD＝∠ADE，

∵矩形ABCD的对边AB∥CD，

∴∠BAC＝∠ACD，

∵sin∠ADE＝，

∴＝，

∴AC＝＝＝5，

由勾股定理得，AB＝＝＝3，

故答案为：3．

∴S平行四边形AGCH＝CG•AB＝3×2＝6．

5．（2022•山西）如图，在矩形ABCD中，AC是对角线．

（1）实践与操作：利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点O，交边AD

于点E，交边BC于点F（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明

字母）．

（2）猜想与证明：试猜想线段AE与CF的数量关系，并加以证明．

【解答】解：（1）如图，

（2）AE＝CF，证明如下：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，

∵EF是AC的垂直平分线，

∴AO＝CO，

在△AOE和△COF中，

，

∴△AOE≌△COF（AAS），

∴AE＝CF．

6．（2022•湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，D是AB边上一点，

以BD为直径的半圆O与边AC相切，切点为E，过点O作OF⊥BC，垂足为

F．

（1）求证：OF＝EC；