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1.（2012年青海省中考试题）如图（*），四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，

∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题．

探究1：小强看到图（*）后，很快发现AE=EF，这需要证明AE和EF所在的两个三角形全等，但△ABE和△ECF显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点E是边BC的中点，因此可以选取AB的中点M，连接EM后尝试着去证△AEM≌EFC就行了，随即小强写出了如下的证明过程：

证明：如图1，取AB的中点M，连接EM．

∵∠AEF=90°

∴∠FEC+∠AEB=90°又∵∠EAM+∠AEB=90°

∴∠EAM=∠FEC

∵点E，M分别为正方形的边BC和AB的中点，∴AM=EC

又可知△BME是等腰直角三角形，∴∠AME=135°.又∵CF是正方形外角的平分线，∴∠ECF=135°.

∴△AEM≌△EFC（ASA），∴AE=EF.

探究2：小强继续探索，如图2，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边

BC上的任意一点”，其余条件不变，发现AE=EF仍然成立，请你证明这一结论．

探究3：小强进一步还想试试，如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE=EF是否成立呢？若成立请你完成证明过程给小强看，若不成立请你说明理由．

考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质。专题：阅读型。

考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质。专题：阅读型。

分析：（2）在AB上截取AM=EC，然后证明∠EAM=FEC，∠AME=∠ECF=135°，再利用“角边

角”证明△AEM和△EFC全等，然后根据全等三角形对应边相等即可证明；

1

（3）延长BA到M，使AM=CE，然后证明∠BME=45°，从而得到∠BME=∠ECF，再利用两直线平行，内错角相等证明∠DAE=∠BEA，然后得到∠MAE=∠CEF，再利用“角边角”证明△MAE和△CEF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证．

解答：（2）探究2，证明：在AB上截取AM=EC，连接ME，由（1）知∠EAM=∠FEC，

∵AM=EC，AB=BC，

∴BM=BE，

∴∠BME=45°，

∴∠AME=∠ECF=135°，

∵∠AEF=90°，

∴∠FEC+∠AEB=90°，

又∵∠EAM+∠AEB=90°，

∴∠EAM=∠FEC，

在△AEM和△EFC中， ，

∴△AEM≌△EFC（ASA），

∴AE=EF；

（3）探究3：成立，

证明：延长BA到M，使AM=CE，连接ME，

∴BM=BE，

∴∠BME=45°，

∴∠BME=∠ECF，又∵AD∥BE，

∴∠DAE=∠BEA，

又∵∠MAD=∠AEF=90°，

∴∠DAE+∠MAD=∠BEA+∠AEF，

即∠MAE=∠CEF，

在△MAE和△CEF中， ，

∴△MAE≌△CEF（ASA），

∴AE=EF．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，阅读材料，理清解题的关键是取AM=EC，然后构造出△AEM与△EFC全等是解题的关键．

2

2.（2012年盐城市）如图①所示,已知A、B为直线l上两点,点C为直线l上方一动点,连接AC、BC,分别以AC、BC为边向?ABC外作正方形CADF和正方形CBEG,过点

D作DD

1

?l于点D

1

,过点E作EE

1

?l于点E.

1

如图②,当点E恰好在直线l上时(此时E

1

与E重合),试说明DD

1

?AB；

在图①中,当D、E两点都在直线l的上方时,试探求三条线段DD

1

、EE

1

、AB之

间的数量关系,并说明理由；

如图③,当点E在直线l的下方时,请直接写出三条线段DD

1

、EE

1

、AB之间的数量

关系.(不需要证明) F

GFCD

G

F

C

D

E

D

C

E G

D

1

A

B

1

E

D

C G

E

D A B E l

1 1

l l

D A B (E)

1 1

图① 图② 图③

解：（1）在正方形ACFD中,∵AC?AD，?CAD?90?，

∴?DAD

1

??CAB?90?

又∵DD?l,∴?DDA?90?,∴?DDA??DAD

?90?,

1 1 1 1

∴?CAB??DDA 又∵四边形BCGE为正方形,∴?