第一章 集合与简易逻辑.docx

第一章 集合与简易逻辑

一．集合的有关概念

集合

①定义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，每个对象叫做集合的元素。

②表示方法

列举法：将集合中的元素一一列举出来，用大括号括起来，如{a,b,c}描述法：将集合中的元素的共同属性表示出来，形式为：P={x∣P(x)}.

如：{xy? x?1},{yy? x?1},{(x,y)y? x?1}

图示法：用文氏图表示题中不同的集合。

③分类：有限集、无限集、空集。

④性质确定性：a?A或a?A必居其一，

互异性：不写{1，1，2，3}而是{1，2，3}，集合中元素互不相同，无序性：{1，2，3}={3，2，1}

常用数集

复数集C 实数集R 整数集Z 自然数集N 正整数集N?（或N）有理数集Q

+

元素与集合的关系：a?

A或a?A

集合与集合的关系：

①子集：若对任意x?A都有x?B[或对任意x?B都有x?A]则A是B的子集。

记作：A?

B或B?A A?B,B?C?A?C

②真子集：若A?B，且存在x ?B,但x ?A，则A是B的真子集。

0 0

记作：A B[或“A?

③A?B且B?A?A?B

B且A?B”] A B，B C A C

④空集：不含任何元素的集合，用?表示，对任何集合A有?

注：a?{a}??{0}??{?}

子集的个数

?A，若A??则? A

若A?{a,a

1 2

, a

?n

?

}，则A的子集个数、真子集的个数、非空真子集的个数分别为2n个，2n-1个和2n-2个。

二．集合的运算

有关概念

①交集：A?B?{xx?A且x?B} ②并集：A?B?{xx?A或x?B}

③全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，通常用U表示。

④补集：C

U

A?{xx?U且x?A}

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

U

CA

A

U

常用运算性质及一些重要结论

①A?A?A

②A?A?A

A????

A???A

A?B?B?AA?B?B?A

③A?(B?C)?(A?B)?C?A?B?C A?(B?C)?(A?B)?C?A?B?C

④A?(B?C)?(A?B)?(A?C) A?(B?C)?(A?B)?(A?C)

? ?⑤A C A?? A C A?

? ?

U U

⑥A?B?A?A?B A?B?B?A?B

? ? ? ?⑦C (A B)?(C A) (C B) C (A B)?(C

? ? ? ?

U U U U U U

⑧Card(A?B)?Card(A)?Card(B)?Card(A?B)

三．含有绝对值不等式

?a,?a?0?

1、绝对值的意义：（其几何意义是数轴的点A（a）离开原点的距离

OA?a）a??0,?a?0?

????a,?a?0?

?

?

2、含有绝对值不等式的解法：（解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号）

定义法；

零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式；

平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如

f?x??g?x?）；

图象法或数形结合法；(如讨论

x2?2x?1?a的解有个数)

不等式同解变形原理：即

x?a?a?0???a?x?a x?a?a?0??x?a或x??a

ax?b?c?c?0???c?ax?b?c ax?b?c?c?0??ax?b?c或ax?b??c

f?x??g?x???g?x??f?x??g?x? f?x??g?x??f?x??g?x?或f?x??g?x?a? f?x??b?b?a?0??a?f?x??b或?b?f?x???a

3、不等式的解集都要用集合形式表示，不要使用不等式的形式。四．一元二次不等式

1、二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的联系。（见课本P20）

2、利用二次函数图象的直观性来研究一元二次方程