第二章 推理与证明章末复习课 含解析.docx

【创新设计】2016-2017学年高中数学第二章推理与证明章末复习课新人教版选修2-2

题型一 合情推理与演绎推理1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明．2．演绎推理与合情推理不同，它是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式，也是公理化体系所采用的推理形式．另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性．

例1(1)有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含两个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；第四组含四个数{13,15,17,19}；…试观察每组内各数之和f(n)(n∈N*)与组的编号数n的关系式为 ．

(2)在平面几何中，对于Rt△ABC，AC⊥BC，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则

①a2＋b2＝c2；

②cos2A＋cos2B＝1；

③Rt△ABC的外接圆半径为r＝

a2＋b2

2 .

把上面的结论类比到空间写出相类似的结论；如果你能证明，写出证明过程；如果在直角三角形中你还发现了异于上面的结论，试试看能否类比到空间？

答案 f(n)＝n3

解析 由于1＝13,3＋5＝8＝23，

7＋9＋11＝27＝33,13＋15＋17＋19＝64＝43，…，猜想第n组内各数之和f(n)与组的编号数n

的关系式为f(n)＝n3.

解 选取3个侧面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象．

①设3个两两垂直的侧面的面积分别为S，S，S，底面面积为S，则S2＋S2＋S2＝S2.

1 2 3 1 2 3

②设3个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.

③设3个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a，b，c，则这个四面体的外接球的半径为R＝

a2＋b2＋c2

2 .

反思与感悟 (1)归纳推理中有很大一部分题目是数列内容，通过观察给定的规律，得到一些简单数列的通项公式是数列中的常见方法．

(2)类比推理重在考查观察和比较的能力，题目一般情况下较为新颖，也有一定的探索性．跟踪训练1 (1)下列推理是归纳推理的是 ，是类比推理的是 ．

①A、B为定点，若动点P满足|PA|＋|PB|＝2a|AB|，则点P的轨迹是椭圆；

②由a＝1，a ＝3a－1，求出S，S，S，猜想出数列的通项a和S的表达式；

1 n＋1 n 1 2 3 n n

③由圆x2＋y2＝1的面积S＝πr2，猜想出椭圆的面积S＝πab；

④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．答案 ② ③④

(2)设等差数列{a}的前n项和为S，则S，S－S，S

－S，S－S

成等差数列．类比以上结

n n 4 8

4 12

8 16 12

T

论有：设等比数列{b}的前n项积为T

则T， ， ，

16成等比数列．

n

T T

TT答案 8 12

T

T

4 8

n, 4 T

12

解析 等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等

T T T

比数列{b}的前n项积为T，则T，8，12，16成等比数列．

n n

题型二 综合法与分析法

4 T T T

4 8 12

综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，但两种证明方法思路截然相反，分析法既可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程，分析法与综合法可相互转换，相互渗透，要充分利用这一辩证关系，在解题中综合法和分析法联合运用，转换解题思路，增加解题途径．一般以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表示证明过程．

例2用综合法和分析法证明．

sinα

已知α∈(0，π)，求证：2sin2α≤1－cosα.

证明 (分析法)

sinα

要证明2sin2α≤ 成立．

1－cosα

sinα

只要证明4sinαcosα≤ .

1－cosα

∵α∈(0，π)，∴sinα0.

1

只要证明4cosα≤ .

1－cosα

上式可变形为

1

4≤ ＋4(1－cosα)．1－cosα

∵1－cosα0，

1

∴1－cosα

＋4(1－cosα)≥2

1 π