第二章 导数与微分教案.docx

第二章 导数与微分

知识点：

? ?导数的定义

? ?

?导数的概念?导数的几何意义

?? ?函数可导与连续的关系

?

?

?

?? ?导数的基本公式

?

? ?

? ?导数的四则运算法则

? ??导数的运算

? ?

? ?隐函数的导数

? ?取对数法求导

? ?

? ??高阶导数

?

?

教学目的要求：

? ?微分的概念及其几何意义

?微分?

? ?微分的基本公式与运算法则

??

?

?

理解导数的概念；熟记导数符号；理解导数的几何意义；了解函数可导与连续的关系。

熟记导数的基本公式；掌握导数的四则运算求导法则；掌握复合函数的求导法则；掌握隐函数与对数法的求导方法；了解高阶导数的概念；掌握高阶导数的求导方法。

理解微分的概念及其几何意义；熟记微分的基本公式与运算法则。

教学重点：

导数的概念

导数的几何意义

导数的基本公式

四则运算求导法则

复合函数求导法则

隐函数的求导法则

一阶微分的形式不变性

教学难点：

导数的概念

复合函数的求导法则

隐函数的求导法则

微分的形式不变性

第一节 导数的概念

【教学内容】两个引例；导数的定义；导数的几何意义；函数可导与连续的关系。

【教学目的】使学生理解导数的定义，掌握导数的几何意义，会求曲线的切线方程与法线方程，了解函数可导与连续的关系。

【教学重点】1．导数的定义；2．用导数的定义求函数在某点的导数；3．导数的几何意

义。

【教学难点】1．导数的定义；2．函数可导与连续的关系。

【教学时数】2学时

【教学进程】

一、两个引例

提问：1．自由落体运动的位移公式；2．自由落体运动的瞬时速度公式；3．自由落体运动的瞬时速度公式的推导过程（适当讨论）

提问：1．自由落体运动的位移公式；2．自由落体运动的瞬时速度公式；3．自由落体

运动的瞬时速度公式的推导过程（适当讨论）。

由学生回答可知自由落体运动的位移公式为s?s(t)?

1gt2，由于物体的位移s是

2

随时间t连续变化的，因此在很短的时间间隔?t内（从t到t ??t）内，速度变化不大，

0 0

?s s(t ??t)?s(t)

可以用平均速度v??t? 0 ?t

0 作为t时的瞬时速度v(t )的近似值，即

0 0

1 1

0?s s(t

0

?t

?t t

??t)?s(t

) 2g(t0

??t)2

gt2

2 0 1

v(t

0

)?v?

?t???0 0 = ? =gt

g?t2

2

显然，?t越小，v与v(t)越接近，当?t无限变小时，平均速度就无限接近t时的瞬

0 0

时速度．由此，令?t?0，如果平均速度?s的极限存在，就把它定义为物体在时刻t的

?t 0

瞬时速度v(t)，即

0

v(t

0

)=lim(gt

?t?0 0

g?t2)=gt

12 0

1

总结规律：对于一般的变速直线运动的瞬时速度可由以下式子求得：

?s s(t ??t)?s(t)

v(t

)?lim ?lim 0 0

0 ?t?0?t ?t?0 ?t

引例2 平面曲线的切线斜率

yy?f(x) Q?ycRP?xO T

y

y?f(x) Q

?y

c

R

P

?x

O T

x

0

x ??x

0

另取一点Q，作割线PQ，当动点Q沿曲线C向点P移

动时，割线PQ绕点P旋转，设其极限位置为PT，则直线PT称为曲线C在点P的切线．如右图所示．

设曲线C的方程是y?f(x)，记点P的横坐标为 x

x ，点Q的横坐标为x

0 0

?x（?x可正可负），PR平行x轴，设PQ的倾角为?，则PQ

tan??RQ RQ f(x

??x)?f(x )

的斜率为

显然tan?? ? 0 0

PR PR ?x

当点Q沿曲线C无限趋近于点P时（这时?x?0)，?也趋近于PT的倾角?，这时切

线PT的斜率tan??lim?y

?x?0?x

?lim

?x?0

f(x

0

??x)?f(x)

0?x

0

综上两个引例的结论可知，虽然这两个问题所涉及到的背景知识不同，但是它们可以用相同的方法求得所需结果，由此引出导数的定义。

二、导数的定义

导数的定义。

定义 设函数y?f(x)在点x

0

的某邻域内有定义，当自变量x在点x

0

处有增量?x（点

x ??x仍在该邻域内）时，相应地函数有增量

0

?y?f(x

0

?y

??x)?f(x)

0

如果极限lim

?x?0

存在，则称函数 y?f(x