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专题5.9分式章末八大题型总结(拔尖篇)
【浙教版】
TOC\o1-3\h\u
【题型1探究分式值为整数问题】 1
【题型2探究利用分式性质求值问题】 4
【题型3探究分式的规律性问题】 7
【题型4探究分式方程的正负解问题】 11
【题型5探究分式方程的整数解问题】 14
【题型6探究分式方程的无解问题】 17
【题型7探究分式方程的增根问题】 20
【题型8分式方程的应用】 23
【题型1探究分式值为整数问题】
【例1】(2023上·山东烟台·七年级统考期中)请阅读下面材料,然后解决问题:在分式中,对于只含有一个字母的分式,当分子的次数大于或等于分母的次数时,我们称之为“假分式”,例如:x+1x-1,x2x-1;当分子的次数小于分母的次数时,我们称之为“真分式”,例如:1x+1,2x+1x2-1.我们知道,假分数可以化为带分数,例如:125=
(1)将分式5x
(2)在(1)问中,当x取哪些数值时,分式5x
(3)当x的值变化时,分式3x2+17
【答案】(1)5+9
(2)当x取-7,-1,1,3,5,11时,分式
(3)173
【分析】本题考查了新定义的理解,分式的变形及分式的值,掌握求解是分式的值为整数时字母的值是解本题的关键.
(1)将分子5x-1
(2)根据(1)的结果,要使5x-1x-2为整数,则9x
(3)分式3x2+17x2+3要取最大值,则
【详解】(1)5x
(2)由(1)得:5x
要使5x-1
∴x-2为
∴x-2=±1或x-2=±3
解得:x=3,x=1,x=5,x=-1,
∴当x取-7,-1,1,3,5,11时,分式
(3)3x
分式3x2+17
故当x=0时,x
∴最大值3x
【变式1-1】(2023下·江苏南京·七年级校联考期中)若分式4x-1的值为整数,x的值也为整数,则x
【答案】-
【分析】根据分式4x-1的值为整数,x的值也为整数,可得x-1=±4或±2或±1
【详解】解:∵分式4x-1
∴x-1=±4或±2
∴x=5或-3或3或-1或
∴x的最小值为-
故答案为:-3
【点睛】本题考查了分式的值,正确理解题意是解答本题的关键.
【变式1-2】(2023上·重庆·七年级西南大学附中校考期中)若x是整数,则使分式8x+22x-
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】C
【分析】先将假分式8x+22x-1分离可得出
【详解】解:8
由题意可知,2x-1
∴2
解得:x=1,
其中x的值为整数有:x=0,1,-1,2共4
故选:C.
【点睛】本题考查的知识点是分式的值是整数的条件,分离假分式是解此题的关键,通过分离假分式得到4+6
【变式1-3】(2023下·河北保定·七年级统考期末)已知x为整数,且2x+3-2
【答案】4或5
【分析】根据异分母分式加减法计算得2x-3,利用x为整数,且2x+3-2x-
【详解】解:2
=2
=2
=2x
=2
∵x为整数,且2x
∴x-3=1或x-3=2,
∴x=4或5,
故答案为4或5.
【点睛】此题考查了异分母分式的加减法,正确掌握异分母分式加减法计算法则并结合题意得到x-3=1或x-3=2是解题的关键.
【题型2探究利用分式性质求值问题】
【例2】(2023上·四川绵阳·七年级东辰国际学校校考期末)已知abc=1,a+b
【答案】-
【分析】由a+b+c=2
【详解】由a+b+
且a2+b
由a+b+
∴ab
同理可得:bc+3a+3=
∴原式=1
=a
=a
=2-9
=-
故答案为:-7
【点睛】本题主要考查了分式的化简、求值问题;解题的关键是根据已知条件的结构特点,灵活运用有关公式将所给的代数式恒等变形,准确化简.
【变式2-1】(2023上·四川绵阳·七年级东辰国际学校校考期末)已知三个数,x,y,z满足xyx+y=-3,
【答案】12
【分析】将xyx+y=-3,yzy+z=43
【详解】∵xyx
∴x+
∴1y
∴(1
得1y
∴1x
将1x=1y-
∴y=127
故答案为:127
【点睛】此题考查分式的性质,分式的变形计算,根据分式的性质得到1y
【变式2-2】(2023下·山东泰安·七年级统考期末)已知a+b+cd
【答案】为-1或3
【分析】根据题设知a≠0,b≠0,c≠0,d≠0,得到a+b+c=dm,a+b+d=cm,a+c+d=bm,b+c+d=am,推出3(a+b+c+d)=m(a+b+c+d),得到(a+b+c+d)(m-3)=0,当a+b+c+d=0时,得到a+b+c=-d,a+b+d=-c,a+c+d=-b,b+c+d=-a,推出m=-1;当a+b+c+d≠0时,推出m-3=0,得到m=3.
【详解】∵a+
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