第9讲 一元二次方程综合.docx

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第九讲 一元二次方程综合（二）

典型例题

例1 质数p、q是方程x2

13x?m?0的根，求q?p

p q

的值。

例2 已知：关于x的方程x2

2mx?3m?0的两个实数根是x，x，且(x?x)2?16，

1 2 1 2

如果关于x的另一个方程x2

的值。

2mx?6m?9?0的两个实数根都在x和x 之间，求m

1 2

? ?例3 解分式方程：? x ?2

? ?

5? x ??6?0。

? ??x?1? ?x?1

? ?

例4 两数之差为2，积为143，求这两个数。

例5 已知如图9-1：甲、乙两人分别从正方形广场ABCD的顶点B、C两点同时出发，甲由C向D运动，乙由B向C运动，甲的速度为1km/min，乙的速度为2km/min,

若正方形广场的周长为40km，问几分钟后两人相距2

km？

10A B

10

乙

E

D C

F 甲

图9-1

练习题

1．某农场的产量两年内从50万kg增加到60.5万kg，农场平均每年增产百分之几？

2．如图9-2，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，BC=1，D为BC上一点，

且AC

CD

是方程3(x2?1

x2

)?5(x?

1)?2的较大的一个根，求CD的长。

x

DC

D

A B

图9-2

已知：在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，且∠AED=∠B，

求证：△ADE∽△ACB；

若AE

AB

?1，DE=?x,BC?x2?2,求DE和BC的长。

3

已知：方程x2

两直角边的长：

?144

x2

?32?(x?12)的正数解为a和b，且a,b是Rt△ABC的

x

求Rt△ABC斜边AB上的高；

如果斜边上的点P到C的距离比点P到B的距离小1，且有2

PC

?1

PA

?1 ，

PB

求PC的长。

小课堂

数学之父─塞乐斯(Thales)

塞乐斯生于公元前624年，是古希腊第一位闻名世界的大数学家。他游历埃及时，曾用一种巧妙的方法算出了金字塔的高度，使古埃及国王阿美西斯钦羡不已。

塞乐斯的方法既巧妙又简单：选一个天气晴朗的日子，在金字塔边竖立一根小木棍，然后观察木棍阴影的长度变化，等到阴影长度恰好等于木棍长度时，赶紧测量金字塔影的长度，因为在这一时刻，金字塔的高度也恰好与塔影长度相等。也有人说，塞乐斯是利用棍影与塔影长度的比等于棍高与塔高的比算出金字塔高度的。如果是这样的话，就要用到三角形对应边成比例这个数学定理。

在塞乐斯以前，人们在认识大自然时，只满足于对各类事物提出怎么样的解释，而塞乐斯的伟大之处，在于他不仅能作出怎么样的解释，而且还加上了为什么的科学问号。古代东方人民积累的数学知识，王要是一些由经验中总结出来的计算公式。塞乐斯认为，这样得到的计算公式，用在某个问题里可能是正确的，用在另一个问题里就不一定正确了，只有从理论上证明它们是普遍正确的以后，才能广泛地运用它们去解决实际问题。在人类文化发展的初期，塞乐斯自觉地提出这样的观点，是难能可贵的。它赋予数学以特殊的科学意义，是数学发展史上一个巨大的飞跃。所以塞乐斯素有数学之父的尊称，原因就在这里。

塞乐斯最先证明了如下的定理:

圆被任一直径二等分。

等腰三角形的两底角相等。

两条直线相交，对顶角相等。

半圆的内接三角形，一定是直角三角形。

如果两个三角形有一条边以及这条边上的两个角对应相等，那么这两个三角形全等。这个定理也是塞乐斯最先发现并最先证明的，后人常称之为塞乐斯定理。相传塞乐

斯证明这个定理后非常高兴，宰了一头公牛供奉神灵。后来，他还用这个定理算出了海上的船与陆地的距离。

塞乐斯的墓碑上列有这样一段题辞：「这位天文学家之王的坟墓多少小了一点，但他在星辰领域中的光荣是颇为伟大的。