第2章 静力学基本概念.docx

力矩与平面力偶系

第一节 力对点之矩

力对点的矩是很早以前人们在使用杠杆、滑车、绞盘等机械搬运或提升重物时所形成的一个概念。现以板手拧螺母为例来说明。如图3－1所示，在板手的A点施加一力F，将使板手和螺母一起绕螺钉中心O转动，这就是说，力有使物体（扳手）产生转动的效应。实践经验表明，扳手的转动效果不仅与力F的大小有关，而且还与点O到力作用线的垂直距离d有关。当d保持不变时，力F越大，转动越快。当力F不变时，d值越大，转动也越快。若改变力的作用方向，则扳手的转动方向就会发生改变，因此，我们用F与d的乘积再冠以适当的正负号来表示力F使物体绕O点转动的效

应，并称为力F对O点之矩，简称力矩，以符号M（F）表示，即

O

M(F)??F?d （3－1）

O

O点称为转动中心，简称矩心。矩心O到力作用线的垂直距离d称为力臂。

图3-1

图3-1

式中的正负号表示力矩的转向。通常规定：力使物体绕矩心作逆时针方向转动时，力矩为正，反之为负。在平面力系中，力矩或为正值，或为负值，因此，力矩可视为代数量。

由图3－2可以看出，力对点之矩还可以用以矩心为顶点，以力矢量为底边所构成的三角形的面积的二倍来表示。即

MO(F)??2?OAB面积 （3－2）显然，力矩在下列两种情况下等于零：（1）力等于零；（2）力的作用

线通过矩心，即力臂等于零。

力矩的单位是牛顿?米（N?m）或千牛顿?米（kN?m）

【例3－1】 分别计算图3－3所示的F、F对O点的力矩。

1 2

?【解】：由式（3－1），有

?

M (F

111O

1

1

1

)?F d ?10?1?sin30?

??5kN?m

?

M (F

222O

2

2

2

)??F d

??30?1.5

??45kN?m

第二节 合力矩定理

我们知道平面汇交力系对物体的作用效应可以用它的合力R来代替。这里的作用效应包括物体绕某点转动的效应，而力使物体绕某点的转动效应由力对该点之矩来度量，因此，平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩等于该力系的各分力对该点之矩的代数和。合力矩定理是力学中应用十分广泛的一个重要定理，现用两个汇交力系的情形给以证明。

证明：如图3－4所示，设在物体上的A点

作用有两个汇交的力F

1

和F，该力系的合力为

2

R。在力系的作用面内任选一点O为矩心，过O

点并垂直于OA作为y轴。从各力矢的末端向y

轴作垂线，令Y、Y

1 2

和R分别表示力F、F

y 1 2

和R在y轴上的投影。由图3－4可见

Y?ob

1 1

Y ??ob

2 2

R ?ob

y

各力对O点之矩分别为

M(F

)?2?AOB?Ob

OA?Y?OA ?

?O 1 1 1 1

?

2O22?M(F)??2?AOB??Ob?OA?Y

2

O

2

2

?

OA? (a)

2OyM(R)?2?AOB?Ob?OA?R

2

O

y

OA ?

根据合力矩定理有

y1上式两边同乘以OA得

y

1

R Y Y

?

? ?

2将（a）式代入得

2

R?OA?Y

OA?Y

OA

M(R)?M(F)?M(F)

O O 1 O 2

以上证明可以推广到多个汇交力的情况。用式子可表示为

M(R)?M(F)?M(F)? ?M(F)??M

(F) （3－3）

O O 1 O 2 O n O

虽然这个定理是从平面汇交力系推证出来，但可以证明这个定理同样适用于有合力的其它平面力系。

【例3－2】图3－5所示每1m长挡土墙所受土压力的合力为R，它的大小R=200kN，方向如图所示，求土压力R使墙倾覆的力矩。

【解】：土压力R可使挡土墙绕A点倾覆，求R使墙倾覆的力矩，就是求它对A点的力矩。由于R的力臂求解较麻烦，

但如果将R分解为两个分力F和F，则

1 2

两分力的力臂是已知的。为此，根据合力

矩定理，合力R对A点之矩等于F、F

1 2

对A点之矩的代数和。则

A2?A A 1M(R)?M(F)?M(

A

2

?

A A 1

)?F

h?F?b

1 3 2

?200cos30?

?146.41kN?m

2?200sin30??2

【例3-3】 求图3－6所示各分布荷载对A点的矩

【解】：沿直线平行分布的线荷载可以合成为一个合力。合力的方向与分布荷载的