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桑博教学设计主备：刘德志
桑博教学设计
主备：刘德志
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a ? ??
等比数列的性质总结
?*
?
等比数列的定义：
a
n ?q
q?0
n?2,且n?N
，q称为公比
通项公式：
n?1
aa ?aqn?1? 1qn?A?Bn?a?q?0,A?B?0?， 首项：a
a
；公比：q
n 1 q 1 1
推广：a
n
?aqn?m， 从而得qn?m
m
? n或
aa
a
a
q?n?man
q?
m m
等比中项
ab如果a,A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：A2?ab或A??
ab
注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）
数列?a
?是等比数列? a
2?a ?a
n n n?1
n?1
等比数列的前n项和S公式：
n
当q?1时，S
n
?na
1
? ?
a 1?qn
a?aq
当q?1时，S
?1 ? 1 n
n 1?q 1?q
aa? 1 ? 1 qn?A?A?Bn?ABn?A（A,B,A,B为常数）
a
a
1?q 1?q
等比数列的判定方法
用定义：对任意的n,都有a
?qa
a或n?1?q(q为常数，a
a
?0)?{a
}为等比数列
等比中项：a
2?a a
n?1
（a
n a
n
a ?0）?{a
n n
}为等比数列
n n?1
n?1
n?1
n?1 n
通项公式：a
n
?A?Bn?A?B?0??{a
n
}为等比数列
前n项和公式：S
n
?A?A?Bn或S
n
?ABn?A?A,B,A,B为常数??{a
n
}为等比数列
等比数列的证明方法
依据定义：若
注意
n ?q
aa
a
n?1
?q?0
??n?2,且n?N*
?或a
?
n?1
?qa
n
?{a
n
}为等比数列
等比数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a
1
、q、n、a
n
及S，其中a
n 1
、q称作为
基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；a
n
?aqn?1
1
如奇数个数成等比，可设为…，
a a
, ,a,aq,aq2…（公比为q，中间项用a表示）；
q2 q
等比数列的性质
当q?1时
①等比数列通项公式a
?aqn?1? 1qn
?A?Bn?A?B?0?是关于n的带有系数的类指数函数，底数为公比q
an 1 q
a
? ?
a 1?qn
a?aqn a a
②前n项和S
?1 ? 1 1 1 ? 1 qn?A?A?Bn?ABn?A，系数和常数项是互为相反
n 1?q 1?q 1?q 1?q
数的类指数函数，底数为公比q
对任何m,n?N*,在等比数列{a
n
}中,有a
n
?aqn?m,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公
m
式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。
若m+n=s+t(m,n,s,t?N*),则a?a
n m
?a?a
s t
.特别的,当n+m=2k时,得a?a
n m
?a2
k
注：a?a
1 n
?a?a
2 n?1
?aa
3
n?2
???
k a
列{a},{b}为等比数列,则数列{ },{k?a},{a
k},{k?a?b}{n} (k为非零常数)均为等比数
n n a n n
n
列.
n n b
n
数列{a
n
}为等比数列,每隔k(k?N*)项取出一项(a
m
,a
m?k
,a
m?2k
,a
m?3k
,???)仍为等比数列
如果{a
n
}是各项均为正数的等比数列,则数列{log
a
a}是等差数列
n
若{a
n
}为等比数列,则数列S，S
n 2n
S，S
n 3n
S ,???，成等比数列
2n
若{a
n
}为等比数列,则数列a?a
1 2
?????a
n
, a
n?1
?a
n?2
?????
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