欧氏空间中向量的夹角四课件.pptVIP

§1定义与基本性质§2标准正交基§3同构§4正交变换§5子空间§6对称矩阵的标准形§7向量到子空间的§8酉空间介绍距离─最小二乘法

二、欧氏空间中向量的长度三、欧氏空间中向量的夹角质五、欧氏子空间

第九章欧氏空间问题的引入：1、线性空间中，向量之间的基本运算为线性运算，其具体模型为几何空间、但几何空间的度量性质(如长度、夹角)等在一般线性空间中没有涉及.2、在解析几何中，向量的长度，夹角等度量性质都可以通过内积反映出来：长度：夹角：3、几何空间中向量的内积具有比较明显的代数性质.§1定义与基本性质33

第九章欧氏空间一、欧氏空间的定义1.定义设V是实数域R上的线性空间，对V中任意两个向量、定义一个二元实函数，记作，若满足性质：（对称性）（数乘）（可加性）（正定性）当且仅当时§1定义与基本性质44

第九章欧氏空间则称为和的内积，并称这种定义了内积的实数域R上的线性空间V为欧氏空间.注：欧氏空间V是特殊的线性空间①V为实数域R上的线性空间;②V除向量的线性运算外，还有“内积”运算;§1定义与基本性质55

第九章欧氏空间例1．在中，对于向量1）定义（1）易证满足定义中的性质～.所以这样对于内积就成为一个欧氏空间.为内当积.时，1）即为几何空间中内积在直角坐标系下的表达式.即§1定义与基本性质66

第九章欧氏空间2）定义易证所以为内积.满足定义中的性质～.从而对于内积也构成一个欧氏空间.注意：由于对未必有所以1），2）是两种不同的内积.从而对于这两种内积就构成了不同的欧氏空间.§1定义与基本性质77

第九章欧氏空间例2．为闭区间上的所有实连续函数所成线性空间，对于函数，定义（2）则对于（2）作成一个欧氏空间.证：§1定义与基本性质88

第九章欧氏空间且若故则从而因此，为内积，为欧氏空间.§1定义与基本性质99

第九章欧氏空间2.内积的简单性质V为欧氏空间，推广：§1定义与基本性质1010

第九章欧氏空间二、欧氏空间中向量的长度1.引入长度概念的可能性1）在向量的长度（模）2)欧氏空间V中，使得有意义.2.向量长度的定义称为向量的长度.时，称为单位向量.特别地，当§1定义与基本性质1111

第九章欧氏空间3.向量长度的简单性质（3）3）非零向量的单位化：§1定义与基本性质1212

第九章欧氏空间三、欧氏空间中向量的夹角1.引入夹角概念的可能性与困难1）在中向量与的夹角（4）2）在一般欧氏空间中推广（4）的形式，首先应证明不等式：§1定义与基本性质1313

第九章欧氏空间2.柯西－布涅柯夫斯基不等式对欧氏空间V中任意两个向量，有（5）当且仅当线性相关时等号成立.证：当时，结论成立.当时，作向量§1定义与基本性质1414

第九章欧氏空间由内积的正定性，对，皆有（6）取代入（6）式，得即两边开方，即得§1定义与基本性质1515

第九章欧氏空间当线性相关时，不妨设于是，(5)式等号成立.反之，若（5）式等号成立，由以上证明过程知或者也即，或者线性相关.§1定义与基本性质1616

第九章欧氏空间3.柯西－布涅柯夫斯基不等式的应用1）（7）§1定义与基本性质1717

第九章欧氏空间2）证：在中，与的内积定义为由柯西－布涅柯夫斯基不等式有从而得证.§1定义与基本性质1818

第九章欧氏空间3）对欧氏空间中的任意两个向量有（7）证：两边开方，即得（7）成立.§1定义与基本性质1919

第九章欧氏空间4.欧氏空间中两非零向量的夹角定义1：设V为欧氏空间，为V中任意两非零向量，的夹角定义为§1定义与基本性质2020

第九章欧氏空间定义2：设为欧氏空间中两个向量，若内积则称与正交或互相垂直，记作注：①零向量与任意向量正交.②即.§1定义与基本性质2121

第九章欧氏空间5.勾股定理设V为欧氏空间，证：§1定义与基本性质2222

第九章欧氏空间推广：若欧氏空间V中向量两两正交，即则证：若则§1定义与基本性质2323

第九章欧氏空间例3、已知在通常的内积定义下，求解：又通常称为与的距离，记作§1定义与基本性质2424

第九章欧氏空间四、n维欧氏空间中内积的矩阵表示设V为欧氏空间，为V的一组基，对V中任意两个向量（8）令§1定义与基本性质2525

第九章欧氏空间（9）则（10）定义：矩阵称为基的度量矩阵.§1定义与基本性质2626

第九章欧氏空间注：①度量矩阵A是实对称矩阵.②由内积的正定性，度量矩阵A还是正定矩阵.事实上，对，即有为正定矩阵.③由（10）知，