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数学分析课程教学大纲
课程名称:数学分析
英文名称:MathematicalAnalysis
课程编号:x2080064
学时数:256
其中实验(实训)学时数:0课外学时数:0
学分数:16.0
适用专业:信息与计算科学
一、课程的性质和任务
数学分析是信息与计算科学专业的一门重要的专业基础课,是许多后继课程,如:复变
函数、概率论与数理统计、常微分方程、数值分析、数学物理方程等课程必备的基础,是数
学系本科一、二年级学生的必修课。
学生通过对本课程的系统学习与严格的训练,使学生全面掌握数学分析的基本理论知
识;培养学生严格的逻辑思维能力与推理论证能力;使学生具备熟练的运算能力与技巧;提
高学生建立数学模型,应用微积分这一数学工具解决实际应用问题的能力。
二、课程教学内容的基本要求、重点和难点
(一)集合与映射
理解集合及其相关概念、映射的概念;掌握集合的运算及实数集合的表示法,函数的表
示法与函数的一些基本性质;熟练掌握基本初等函数。
重点:集合、映射的概念,基本初等函数。
难点:基本初等函数及其基本性质。
(二)数列极限
掌握数列极限的概念与定义、无穷大量和无穷小量的概念;掌握数列的收敛准则;理解
实数系具有连续性的分析意义,实数系的一系列基本定理。熟练掌握数列极限的计算,利用
Stolz定理计算数列极限。
重点:数列极限的概念,上(下)确界、无穷大(小)量的概念,数列的收敛准则,实
数系的基本定理。
难点:计算数列极限,判断数列的敛散性。
(三)函数极限与连续函数
掌握函数极限的概念,函数极限与数列极限的关系,无穷小量与无穷大量阶的估计,闭
区间上连续函数的基本性质;熟练掌握函数极限的计算;掌握连续函数的一些基本命题的证
明;理解函数一致连续的概念。
重点:函数极限、函数连续、一致连续的概念,函数极限与数列极限的关系,闭区间上
连续函数的基本性质,函数极限的计算。
难点:函数极限的计算,函数一致连续、闭区间上连续函数的有关判断、证明。
(四)微分
理解微分、导数、高阶微分和高阶导数的概念、性质及相互关系;熟练掌握求导与求微
分的方法;理解高阶导数的Leibniz公式。
重点:微分、导数、高阶微分与高阶导数的概念及计算,复合函数、隐函数、参数形式
函数的导数计算。
难点:复合函数、隐函数的导数计算。
(五)微分中值定理及其应用
掌握微分中值定理与函数的Taylor公式,并能应用于函数性质的研究;熟练掌握运用
L'Hospital法则计算函数极限,求解函数的极值及其作图问题。
重点:微分中值定理与函数的Taylor公式,L'Hospital法则,函数的极值与函数作
图问题。难点:应用微分中值定理证明有关问题,运用L'Hospital法则计算极限,求
解函数的极值。
(六)不定积分
掌握不定积分的概念与运算法则;熟练掌握应用换元法和分部积分法求解不定积分;掌
握求有理函数与部分无理函数不定积分的计算方法。
重点:不定积分的计算,应用换元法和分部积分法计算不定积分。
难点:利用换元法和分部积分法计算不定积分,有理函数与部分无理函数不定积分的计
算方法。
(七)定积分
理解定积分的概念;掌握微积分基本定理(Newton—Leibniz公式);熟练掌握定积分
的计算,能运用微元法解决几何、物理等实际应用问题。
重点:函数可积性的讨论,定积分的计算,利用定积分计算几何、物理与实际应用中的
问题。
难点:函数可积性的讨论,利用定积分计算及其在实际问题中的应用。
(八)反常积分
理解反常积分的概念;掌握反常积分的收敛判别法及计算。
重点:反常积分的概念及计算,反常积分的收敛判别法。
难点:反常积分的收敛判别法。
(九)数项级数
掌握数项级数敛散性的概念;理解数列上级限与下极限的概念;掌握运用各种判别法判
别正项级数、任意项级数及无穷乘积的敛散性。
重点:数项级数敛散性,上
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