312 函数的表示法(课时作业).doc

3.1.2函数的表示法

课程标准

核心素养

1．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用．

2．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.

通过对函数表示法的学习，提升“数学抽象”、“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养.

[对应学生用书P31]

知识点1函数的表示方法

[微体验]

1．已知f(x)＝π(x∈R)，则f(π2)等于()

A．π2 B．π

C．eq\r(π) D．不确定

答案B

2．已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))等于()

x

1

2

3

4

f(x)

3

2

4

1

A．1 B．2

C．3 D．4

A[∵f(3)＝4，∴f(f(3))＝f(4)＝1.]

3．y与x成反比，且当x＝2时，y＝1，则y关于x的函数关系式为()

A．y＝eq\f(1,x) B．y＝－eq\f(1,x)

C．y＝eq\f(2,x) D．y＝－eq\f(2,x)

C[设y＝eq\f(k,x)(k≠0)，由题意知1＝eq\f(k,2)，∴k＝2，∴y＝eq\f(2,x).]

知识点2分段函数

(1)前提：在函数的定义域内．

(2)条件：在自变量x的不同取值范围内，有着不同的对应关系.

(3)结论：这样的函数称为分段函数．

[微体验]

1．下列图象是函数y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x＜0，,x－1，x≥0))的图象的是()

C[由于f(0)＝0－1＝－1，所以函数图象过点(0，－1)；当x＜0时，y＝x2，则函数图象是开口向上的抛物线y＝x2在y轴左侧的部分．因此只有图象C符合．]

2．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤1，,－x＋3，x1，))则f(f(4))＝________.

解析∵f(4)＝－4＋3＝－1，f(－1)＝－1＋1＝0，

∴f(f(4))＝f(－1)＝0.

答案0

3．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中点A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(f(2)))＝()

A．0 B．2

C．4 D．6

B[结合图象可知，直线BC过点(4,2)，f(2)＝0，f(f(2))＝f(0)＝4，f(f(f(2)))＝f(4)＝2.]

[对应学生用书P31]

探究一函数解析式的求法

(1)已知反比例函数f(x)满足f(3)＝－6.求f(x)的解析式；

(2)已知f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x).求f(x)的解析式．

解(1)设反比例函数f(x)＝eq\f(k,x)(k≠0)，

则f(3)＝eq\f(k,3)＝－6，解得k＝－18.所以f(x)＝－eq\f(18,x).

(2)方法一：换元法．令eq\r(x)＋1＝t(t≥1)，则x＝(t－1)2.

∴f(t)＝(t－1)2＋2eq\r(?t－1?2)＝t2－1.

∴f(x)＝x2－1(x≥1)．

方法二：配凑法．∵x＋2eq\r(x)＝(eq\r(x)＋1)2－1，

∴f(eq\r(x)＋1)＝(eq\r(x)＋1)2－1.

又∵eq\r(x)＋1≥1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．

[变式探究]将本例(2)中的已知条件改为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(x,1－x2)呢？

解方法一：换元法．设t＝eq\f(1,x)，则x＝eq\f(1,t)(t≠0)，

代入feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(x,1－x2)，得f(t)＝eq\f(\f(1,t),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)))2)＝eq\f(t,t2－1).

故f(x)＝eq\f(x,x2－1)(x≠0，且x≠±1)．

方法二：∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(x,1－x2)＝eq\f(\f(1,x),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))2－1)，

∴f(x)＝eq\f(x,x2－1)(x≠0，且x≠±1)．

[方法总结]

求函数解析式的两种方法

方法一：待定系数法．

适用条件：函数的类型已知，如一次函数、二次函数等．

操作过程：

方法二：换元法．

适用条件：已知y＝f(g(x))，求f(x)的解析式．

操作过程：

提醒：利用换元法求函数解析式要注意函数的定义域．

探究二函数图象的画法及应用

作出下列函数的图象，并指出其值域．

(1)y＝x