第三讲 韦达定理.docx

镇江至善教育辅导资料(

镇江至善教育辅导资料(新高一数学)2009.07.18

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根与系数的关系（韦达定理）

若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根

?b? b2?4ac?

?b? b2?4ac

?b? b2?4ac

1 2a

则有

2 2a

x?x

? ? ?

?2b

b

?? ；

?b? b2?

?b? b2?4ac

?b? b2?4ac

xx ?

?b?

?b?

?b2?(b ?2

4ac)

?4ac?c．

b2?4acb2?4ac12 2a 2a

b2?4ac

b2?4ac

所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：

b c

如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝?a，x1·x2＝a．这一关系也被称为韦达定理．

特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x，x

是其两根，由

韦达定理可知

x＋x

＝－p，x

1 2

x＝q，

1 2 1 2

即 p＝－(x＋x)，q＝x·x，

1 2 1 2

所以，方程x2＋px＋q＝0可化为x2－(x

＋x)x＋x·x＝0，由于x，x

是一元二次方

1 2 1 2 1 2

程x2＋px＋q＝0的两根，所以，x，x也是一元二次方程x2－(x＋x)x＋x·x＝0．因此有

1 2 1 2 1 2

以两个数x，x为根的一元二次方程（二次项系数为1）是

1

x2－(x

2

＋x)x＋x·x

＝0．

1 2 1 2

例2 已知方程5x2?kx?6?0的一个根是2，求它的另一个根及k的值．

例3 已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．

例4 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．

1和2例5 若x x分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根．

1

和

2

1求|x－x|的值；

1

1

1

求

2

的值；

x2 x2

（3）x

1 2

3＋x3．

1 2

说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：

1 2设x和x分别是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）

1 2

x??b? b2?4ac

1 2a

，x ?

2

?b? b2?4ac

2a ，

∴|x－x|＝

?b? b2?4ac

??b? b2?4ac

?2 b2?4ac

1 2 2a 2a 2a

?．? b2?4ac ?

?

．

|a| a| |

于是有下面的结论：

?

若x和x分别是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），则|x－x|＝

（其中Δ＝b2

1 2

－4ac）．

1 2 |a|

今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．

例6 若关于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围．

练习

若关于x的方程mx2＋(2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是

1 1

（1）若方程x2－3x－1＝0的两根分别是x和x，则 ? ＝ ．

1 2 x x

1 2

方程mx2＋x－2m＝0（m≠0）的根的情况是 ．

以－3和1为根的一元二次方程是 ．

已知 a2?8a?16?|b?1|?0，当k取何值时，方程kx2＋ax＋b＝0有两个不相等的实数根？

4

4．已知方程x2－3x－1＝0的两根为x和x，求(x－3)(x－3)的值．

1

2

1

2

习题

A 组

填空题:

已知关于x的方程x2＋kx－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是

下列四个说法：

①方程x2＋2x－7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；

②方程x2－2x＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；

③方程3x2－7＝0的两根之和为0，两根之积为?7；

3

④方程3x2＋2x＝0的两根之和为－2，两根之积为0．其中正确说法的序号是

（3）关于x的一元二次方程ax2－5x＋a2＋a＝0的一个根是0，则a的值是

2．（1）方程kx2＋4x－1＝0的两根之和为－2，则k＝ ．

（2）方程