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镇江至善教育辅导资料(
镇江至善教育辅导资料(新高一数学)2009.07.18
第
第PAGE1页
根与系数的关系(韦达定理)
若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根
?b? b2?4ac?
?b? b2?4ac
?b? b2?4ac
1 2a
则有
2 2a
x?x
? ? ?
?2b
b
?? ;
?b? b2?
?b? b2?4ac
?b? b2?4ac
xx ?
?b?
?b?
?b2?(b ?2
4ac)
?4ac?c.
b2?4acb2?4ac12 2a 2a
b2?4ac
b2?4ac
所以,一元二次方程的根与系数之间存在下列关系:
b c
如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别是x1,x2,那么x1+x2=?a,x1·x2=a.这一关系也被称为韦达定理.
特别地,对于二次项系数为1的一元二次方程x2+px+q=0,若x,x
是其两根,由
韦达定理可知
x+x
=-p,x
1 2
x=q,
1 2 1 2
即 p=-(x+x),q=x·x,
1 2 1 2
所以,方程x2+px+q=0可化为x2-(x
+x)x+x·x=0,由于x,x
是一元二次方
1 2 1 2 1 2
程x2+px+q=0的两根,所以,x,x也是一元二次方程x2-(x+x)x+x·x=0.因此有
1 2 1 2 1 2
以两个数x,x为根的一元二次方程(二次项系数为1)是
1
x2-(x
2
+x)x+x·x
=0.
1 2 1 2
例2 已知方程5x2?kx?6?0的一个根是2,求它的另一个根及k的值.
例3 已知关于x的方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有两个实数根,并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21,求m的值.
例4 已知两个数的和为4,积为-12,求这两个数.
1和2例5 若x x分别是一元二次方程2x2+5x-3=0的两根.
1
和
2
1求|x-x|的值;
1
1
1
求
2
的值;
x2 x2
(3)x
1 2
3+x3.
1 2
说明:一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量,今后我们经常会遇到求这一个量的问题,为了解题简便,我们可以探讨出其一般规律:
1 2设x和x分别是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
1 2
x??b? b2?4ac
1 2a
,x ?
2
?b? b2?4ac
2a ,
∴|x-x|=
?b? b2?4ac
??b? b2?4ac
?2 b2?4ac
1 2 2a 2a 2a
?.? b2?4ac ?
?
.
|a| a| |
于是有下面的结论:
?
若x和x分别是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),则|x-x|=
(其中Δ=b2
1 2
-4ac).
1 2 |a|
今后,在求一元二次方程的两根之差的绝对值时,可以直接利用上面的结论.
例6 若关于x的一元二次方程x2-x+a-4=0的一根大于零、另一根小于零,求实数a的取值范围.
练习
若关于x的方程mx2+(2m+1)x+m=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是
1 1
(1)若方程x2-3x-1=0的两根分别是x和x,则 ? = .
1 2 x x
1 2
方程mx2+x-2m=0(m≠0)的根的情况是 .
以-3和1为根的一元二次方程是 .
已知 a2?8a?16?|b?1|?0,当k取何值时,方程kx2+ax+b=0有两个不相等的实数根?
4
4.已知方程x2-3x-1=0的两根为x和x,求(x-3)(x-3)的值.
1
2
1
2
习题
A 组
填空题:
已知关于x的方程x2+kx-2=0的一个根是1,则它的另一个根是
下列四个说法:
①方程x2+2x-7=0的两根之和为-2,两根之积为-7;
②方程x2-2x+7=0的两根之和为-2,两根之积为7;
③方程3x2-7=0的两根之和为0,两根之积为?7;
3
④方程3x2+2x=0的两根之和为-2,两根之积为0.其中正确说法的序号是
(3)关于x的一元二次方程ax2-5x+a2+a=0的一个根是0,则a的值是
2.(1)方程kx2+4x-1=0的两根之和为-2,则k= .
(2)方程
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