第8章 压杆稳定.docx

第八章压杆稳定

$8.1压杆稳定的概念

压杆稳定

P干扰力

P

干扰力

P

后，又能恢复到原平衡状态时，这种平衡称为稳定平衡。

临界压力

当轴向压力大于一定数值时，杆件有一微小弯曲，一侧加一微小干扰且有一变形。任一微小挠力去除后，杆件不能恢复到原直线平衡位置，则称原平衡位置是不稳定的，此压力的极限值为临界压力。

由稳定平衡过渡到不稳定平衡的压力的临

Pc?

P=P

PPPcr cr

PP

P

P

界值称为临界压力（或临界力），用

曲屈

表示。

受压杆在某一平衡位置受任意微小挠动，转变到其它平衡位置的过程叫屈曲或失稳。

$8.2细长压杆临界压力的欧拉公式

两端铰支压杆的临界力

选取如图所示坐标系xOy。距原点为x的任意截面的挠度为v。于是有

?xlM?

?

x

l

挠曲线近似微分方程：

将其代入弹性挠曲线近似微分方程，则得

EIv?M?x???Pv

k2? P

令 EI

则有

v?k2v?0

该微分方程的通解为

v?Asinkx?Bcoskx

式中A、B——积分常数，可由边界条件确定压杆为球铰支座提供的边界条件为

x?0和x?l时，v?0

将其代入通解式，可解得

B?0，Asinkl?0

上式中，若A=0，则v?0；即压杆各处挠度均为零，杆仍然保持直线状态，这与压杆

处于微小弯曲的前提相矛盾。因此，只有

满足条件的kl值为

sinkl?0

kl?n?(n?0,1,2, )

则有

于是，压力P为

k?n?

l

P?k2EI?

n2?2EIl2

cn?1得到杆件保持微小弯曲压力-临界压力P?于是可得临界压力为

c

P??2EI

c? l2

此式是由瑞士科学家欧拉（L.Euler）于1744年提出的，故也称为两端铰支细长压杆的欧拉公式。

此公式的应用条件：理想压杆；线弹性范围内；两端为球铰支座。

$8.3其他条件下压杆的临界压力

欧拉公式的普遍形式为

P ??2EI

cr (?l)2

12式中?称为长度系数，它表示杆端约束对临界压力影响，随杆端约束而异。?l表示把

1

2

两端铰支，??1；一端固定另一端自由??2；两端固定，??

端铰支，??0.7。

；一端固定令一

xPR

x

P

R B

v

l

C

由挠曲线的微分方程可得

d2v M

?

P

?? v?

R(l?x)

dx2 EI EI EI

方程的通解为

v?C

1

coskx?C

2

sinkx?

R ?l?x?EIk2

固定支座的边界条件是

x?0时，v?0，dv?0

dx

x?l时，v?0，dv?0

dx

边界条件带入上面各式得

C ? R

1 EIk2

l?0,Ccoskl?Csinkl?0,kC ?

1 2 2

R ?0

EIk2

解得

tankl?kl

作出正切曲线，与从坐标画出的45o斜直线相交，交点的横坐标为

P ??4.493?2EI/l2

cr

弯矩为零的C点的横坐标x

c

?1.352?0.3l

k

$8.4压杆的稳定校核

压杆的许用压力

?P?

P?cr

P

n

st

?P?为许可压力；n 为工作安全系数。

st

压杆的稳定条件

P??P?

例 平面磨床液压传动装置示意图。活塞直径D?65mm，油压p?1.2MPa。活塞杆

长度l?1250mm，材料为35钢，?

?220MPa，E?210GPa，n??6。试确定活塞

P s

杆的直径。解：

轴向压力

? ?? ?2

P? D2p?

4 4

65?10?3

?1.2?106?3980N

p临界压力

p

P ?n

cr st

P?6?3980?23900N

确定活塞杆直径

活塞杆

由P ?

cr

?2EI

??l?2

?23900N

得出d?0.025m

1?

1?1.25

0.025

4

????l

?

i

?200

?2E?P对35

?2E

?

P

1

? ?97

?2?210

?2?210?109

220?106

1

，满足欧拉公式的条件。