弹性力学徐芝纶版第8章.pptVIP

几何方程从几何方程同样可得出形变与位移之间的关系：⑴若位移确定，则形变完全确定。从数学上看，由位移函数求导数是完全确定的，故形变完全确定。⑵若形变确定，则位移不完全确定。若在边界上给定了约束位移分量，则空间问题的位移边界条件为：(7-9)位移边界条件(d)其中由于小变形假定，略去了形变的2、3次幂。体积应变体积应变定义为：空间问题的物理方程⑴应变用应力表示，用于按应力求解方法：物理方程可表示为两种形式：⑵应力用应变表示，用于按位移求解方法：由物理方程可以导出（7-13）称为体积应力。--称为体积模量。空间问题的应力，形变，位移等15个未知函数，它们都是(x,y,z)的函数。这些函数在区域V内必须满足3个平衡微分方程，6个几何方程及6个物理方程，并在边界上满足3个应力或位移的边界条件。结论：结论例题第8节轴对称问题的基本方程第5-7节几何方程及物理方程第3、4节主应力最大与最小的应力第二节物体内任一点的应力状态第一节平衡微分方程第八章空间问题的基本理论在空间问题中，应力、形变和位移等基本知函数共有15个，且均为x,y,z的函数。空间问题的基本方程，边界条件，以及按位移求解和按应力求解的方法，都是与平面问题相似的。因此可以通过简化得到平面问题的相应方程。取出微小的平行六面体，考虑其平衡条件:平衡条件§8-1平衡微分方程由3个力矩方程得到3个切应力互等定理，平衡微分方程由x轴向投影的平衡微分方程,平衡微分方程得同理可得在空间问题中，同样需要解决：由直角坐标的应力分量……，来求出斜面(法线为）上的应力。斜面应力§8-2物体内任一点的应力状态斜面的全应力p可表示为两种分量形式：p沿坐标向分量:p沿法向和切向分量:斜面应力取出如图的包含斜面的微分四面体，斜面面积为ds,则x面，y面和z面的面积分别为lds,mds,nds。由四面体的平衡条件得出坐标向的应力分量,1.求同理可得2.求得由从式(7-3)、(7-4)可见,当六个坐标面上的应力分量确定之后，任一斜面上的应力也就完全确定了。3.在上的应力边界条件应力边界条件1.假设面(l,m,n)为主面，则此斜面上斜面上沿坐标向的应力分量为：斜面应力§8-3、4主应力最大与最小的应力代入,得到：考虑方向余弦关系式，有移项缩写为：或2.求主应力将式(a)改写为：求主应力上式是求解l,m,n的齐次代数方程。由于l,m,n不全为0，所以其系数行列式必须为零，得展开，即得求主应力的方程,求主应力(7-6)3.应力主向设主应力的主向为。代入式(a)中的前两式，整理后得应力主向由上两式解出。然后由式(b)得出应力主向再求出及。4.一点至少存在着三个互相垂直的主应力（证明见书上）。5.应力不变量若从式(c)求出三个主应力，则式(c)也可以用根式方程表示为，上式和(7-6)是等价的方程，故的各幂次系数应相等，从而得出：应力不变量应力不变量所以分别称为第一、二、三应力不变量。这些不变量常用于塑性力学之中。上式中的各式，左边是不随坐标选择而变的；而右边各项虽与坐标的选择有关，但其和也应与坐标选择无关。6.最大与最小的应力正应力设物体内某点的三个主应力已经求得为，将x、y、z轴分别放在三个主应力的方向，则。则由一点应力状态一点应力状态消去得由得：可以得到的一个极值为。同理可得的另外两个极值为。则最大、最小正应力为主应力中的最大、最小值。（2）切应力用同