(三)三角函数的图像与性质.pdfVIP

§4.3三角函数的图像与性质

基础自测

1.

①在（0,）上递减；②以2为周期；③是奇函数.（）

A.y=tanxB.y=cosxC.y=-sinx

D.y=sinxcosx

答案C

2.下列函数中，周期为的是

（

A.y=sinB.y=sin2xC.y=cosD.y=cos4x

答案D

3.设函数y=acosx+b（a、b为常数)的最大值是1，最小值是-7，那么acosx+bsinx的最大值是

()

A.1B.4C.5

D.7

答案C

4.函数y=|sinx|的一个单调增区间是

（）

A.B.C.D.

答案C

5.（2008·全国Ⅱ理，8）若动直线x=a与函数f(x)=sinx和g(x)=cosx的图像分别交于M、N两点，则|MN|

的最大值为（）

A.1B.C.

D.2

答案B

例1求下列函数的定义域：

（1）y=lgsin(cosx);（2）=.

解（1）要使函数有意义，必须使sin(cosx)＞0.

∵-1≤cosx≤1,∴0＜cosx≤1.

方法一利用余弦函数的简图得知定义域为{x|-+2k＜x＜+2k,k∈Z}.

方法二利用单位圆中的余弦线OM，依题意知0＜OM≤1,

∴OM只能在x轴的正半轴上，

∴其定义域为.

（2）要使函数有意义，必须使sinx-cosx≥0.

方法一利用图像.在同一坐标系中画出［0,2］上y=sinx和y=cosx的图像，如图所示.

在［0，2］内，满足sinx=cosx的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2,

所以定义域为.

方法二利用三角函数线，

如图MN为正弦线，OM为余弦线，

要使sinx≥cosx,即MN≥OM，

则≤x≤（在［0，2］内）.

∴定义域为

.

方法三sinx-cosx=sin≥0，

将x-视为一个整体，由正弦函数y=sinx的图像和性质

可知2k≤x-≤+2k,

解得2k+≤x≤+2k,k∈Z.

所以定义域为.

例2求下列函数的值域：

（1）y=;

(2)y=sinx+cosx+sinxcosx;

(3)y=2cos+2cosx.

解（1）y==

2

=2cosx+2cosx=2-.

于是当且仅当cosx=1时取得y=4,但cosx≠1,

max

∴y＜4，且y=-,当且仅当cosx=-时取得.

min

故函数值域为.

2

（2）令t=sinx+cosx,则有t=1+2sinxcosx,

即sinxcosx=.

有y=f(t)=t+=.

又t=sinx+cosx=sin，

∴-≤t≤.

故y=