【精品课件】立体几何模块解题法.pptx

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A

o

命题：

如图，平面α的斜线OA与α内的两边所夹的角相等，则OA在α上的射影是∠BOC的平分线

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例1：

已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD

⑴求证：C1C⊥BD

C1

B1

D

A

C

B

A1

D1

∵∠C1CB＝∠C1CD

∴O点在∠BCA的平分线AC上

O

又∵菱形对角线BD⊥AC

且C1O⊥底面ABCD

BD⊥CC1

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二面角的平面角的作法：

1、定义法

根据定义作出来

2、垂面法

作与棱垂直的平面与

两半平面的交线得到

12

3、三垂线定理法

借助三垂线定理或

其逆定理作出来

4、面积射影法

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三垂线定理作二面角的平面角

p

E

O

A

B



l



E

O

E

O

G

F

O

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E

O

三垂线定理作二面角的平面角的简易法：

求二面角A-BD-C

已知面ABC⊥面BDC

∴由面面垂直的性质定理

只需过A作AO⊥BC，则AO⊥面BDC

然后再根根据三垂线定理作出二面角的平面角

这种方法就叫γ垂面法。

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也就是说：

欲求二面角α-L-β的平面角

可先找出与其中一个面垂直的γ平面

γ

然后过另一平面与γ的交线上的一点M，在γ内作两平面的交线的垂线MO，然后过垂足O作棱L的垂线OE，连接ME,则∠MEO即为所求二面角的平面角。

M

O

E

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B1

C1

A

B

A1

C

要求侧棱AA1和底面所成角

必须要找到它在底面上的射影。

∵侧面AA1C1C与底面ABC垂直，

∴自顶点A1向底面作垂线，垂足应落在AC上。

D

⑴解：

如图，作A1D⊥AC，D为垂足，

则A1D⊥面ABC，

∴∠A1AD即为所求角。

∵AA1⊥A1C，且AA1=A1C

∴∠A1AD=450

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B1

C1

A

B

A1

C

E

⑵略解

2

由⑴可知A1D⊥面ABC，

过D点作DE⊥AB，垂足为E,连接A1E

由三垂线定理知:

∠A1ED即为所求二面角的平面角。

∵AA1=A1C

∴D是的AC中点

∴DE∥BC，DE=1，A1D=

∴tag∠A1ED=

∠A1ED=600

D

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如图，已知A1B1C1-ABC是正三棱柱，D是AC中点

例2：

⑴证明：AB1∥平面DBC1

⑵假设AB1⊥BC1，求以BC1为棱，DBC1与

CBC1为面的二面角α的度数。

A

A1

B1

C1

C

D

B

分析：

要证线面平行

先证线线平行

解：

连接B1C交BC1于E，连接DE

E

则E为B1C的中点，

且DE为△ABC的中位线

∴DE∥AB1

AB1∥平面DBC1

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B1

C1

C

D

B

A

A1

⑵假设AB1⊥BC1，求以BC1为棱，DBC1与

CBC1为面的二面角的度数。

∵A1B1C1-ABC是正三棱柱

∴面ABC⊥面BB1C1C

∴过D点作DF⊥BC，垂足为F

F

∴DF⊥面BB1C1C

∵AB1⊥BC1

DE∥AB1

DE⊥BC1

∴连接EF，则EF⊥BC1

∴∠DEF就是所求二面角的平面角

设AB=a，

取ＢＣ中点Ｇ，连接ＥＧ，则ＥＧ⊥ＢＣ

Ｇ

∴在Rt△BEF中，

∴EF=

∴tag∠DEF=1

∴∠DEF=450

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



A

C

B

D

H

F

L

略解：

则∠HFD即为所求二面角的平面角

∵∠BAD=450,AB=2a

∴DF=a

F点为AB的中点,FB=a

又∵∠ABC=300

∴HF=

a

∴cos∠HFD=

=

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P

E

D

A

C

B

O

H

略解：

连接AC交BD于点O,连接OE

过O作OH垂直BE于H,连接AH

则AO⊥平面BDE?

则∠AHO为二面角A-BE-D的平面角

∵AB=a,∠ABC＝600

a

∵在Rt△EOB中，

a

a

BE=a

a

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按此继续

本节课主要讲了

如何利用模块求二面角的平面角

找垂平面

作交线的垂线

过垂足作棱的垂