新工科数学基础三 线性代数及Python实现 课件 5.5 化二次型为标准形.ppt

定义：如果n阶矩阵A满足ATA=E，即A?1=AT，则称矩阵A为正交矩阵，简称正交阵．定理：设A为n阶实对称阵，则必有正交阵P，使得P?1AP=PTAP=L，其中L是以A的n个特征值为对角元的对角阵（P不唯一）.（P.149定理5）定理8任给二次型f(x)=xTAx（其中A=AT），总存在正交变换x=Py，使f化为标准形f(Py)=l1y12+l2y22+…+lnyn2其中l1,l2,…,ln是f的矩阵A的特征值．例：求一个正交变换x=Py，把二次型f=－2x1x2+2x1x3+2x2x3化为标准形．解：二次型的矩阵经过计算可得有正交阵使得于是正交变换x=Py把二次型化为标准形f=－2y12+y22+y32