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解析几何中,二次曲线的一般形式ax2+bxy+cy2=0 通过选择适当的旋转变换使得mx2+ny2=0.定义10含有n个变量x1,x2,…,xn的二次齐次函数称为二次型.令aij=aji,则2aijxixj=aijxixj+ajixixj,于是对称阵对称阵A的秩也叫做二次型f的秩.线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.对称阵的二次型二次型的矩阵对于二次型,寻找可逆的线性变换使二次型只含平方项,即f=k1y12+k2y22+…+knyn2定义10:只含平方项的二次型称为二次型的标准形.说明:这里只讨论实二次型,所求线性变换也限于实数范围.简记为x=Cy,于是f=xTAx=(Cy)TA(Cy)=yT(CTAC)y若二次型f经过可逆变换x=Cy变为标准形,即问题:对于对称阵A,寻找可逆矩阵C,使CTAC为对角阵,(把对称阵合同对角化).
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