新工科数学基础三 线性代数及Python实现 课件 5.2 相似矩阵与矩阵的对角化.ppt

定义2设A,B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P满足P?1AP=B，则称B为矩阵A的相似矩阵，或称矩阵A和B相似．记作A~B．性质1若n阶矩阵A和B相似，则A和B的特征多项式相同,从而A和B的特征值也相同．(逆命题不成立)证明：根据题意，存在可逆矩阵P，使得P?1AP=B．于是 |B?lE|=|P?1AP?P?1(lE)P|=|P?1(A?lE)P|=|P?1||A?lE||P|=|A?lE|．定理：若n阶矩阵A和B相似，则A和B的特征多项式相同,从而A和B的特征值也相同．推论：若n阶矩阵A和B相似，则A的多项式j(A)和B的多项式j(B)相似．证明：设存在可逆矩阵P，使得P?1AP=B，则P?1AkP=Bk.设j(x)=cmxm+cm?1xm?1+…+c1x+c0，那么P?1j(A)P=P?1(cmAm+cm?1Am?1+…+c1A+c0E)P=cmP?1AmP+cm?1P?1Am?1P+…+c1P?1AP+c0P?1EP=cmBm+cm?1Bm?1+…+c1B+c0E=j(B).定理：设n阶矩阵L=diag(l1,l2,…,ln)，则l1,l2,…,ln就是L的n个特征值．证明：故l1,l2,…,ln就是L的n个特征值．定理：若n阶矩阵A和B相似，则A和B的特征多项式相同,从而A和B的特征值也相同．推论：若n阶矩阵A和B相似，则A的多项式j(A)和B的多项式j(B)相似．若n阶矩阵A和n阶对角阵L=diag(l1,l2,…,ln)相似，则从而通过计算j(L)可方便地计算j(A).若j(l)=|A?lE|，那么j(A)=O（零矩阵）.可逆矩阵P，满足P?1AP=L（对角阵）AP=PLApi=lipi(i=1,2,…,n)A的特征值对应的特征向量其中?P.138定理1：n阶矩阵A和对角阵相似当且仅当A有n个线性无关的特征向量推论：如果A有n个不同的特征值，则A和对角阵相似．例1判断下列实矩阵能否化为对角阵？解解之得基础解系求得基础解系解之得基础解系故不能化为对角矩阵.A能否对角化？若能对角例2解解之得基础解系所以可对角化.注意即矩阵的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应．小结这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对角矩阵的运算．相似变换是对方阵进行的一种运算，它把A变成．思考题思考题解答结束