高中数学竞赛辅导教学案.docx

高一数学竞赛辅导材料 空间角和距离

—方法指要

二面角的求法:

定义法:作出二面角的平面角.常用作法有:三垂线定理法,辅助垂面法,

平移法等.

面积射影定理:设平面?内面积为S的某一平面图形在另一平面?内的

射影的面积为S则平面?与平面?夹角满足cos?S

S

d2?m

d2?m2?n2?2mncos?

,其中

E,F分别为二面角两个面上的点,E,F到棱的距离分别为m,n,d是

E,F在棱上射影间的距离,?是二面角的度数

异面直线距离的求法

定义法:作出异面直线的公垂线段

线面平行法:已知异面直线a,b,若a平行于b所在的平面?,则a与?距离就是a与b的距离

线面垂直法:已知异面直线a,b,若a垂直与b所在平面?,则垂足到直

线的距离就是a与b的距离.

体积法:把异面直线的距离转化为求某类几何体的高,借助与体积相等来建立方程来求高.

最值法:根据异面直线距离为了解异面直线上任意两点间线段长的最小值,利用求极值的方法.

d2?m

d2?m2?n2?2mncos?

空间点到平面(线面距离,面面距离)的距离的求法:(1)直接过点作平面的垂线(2)体积法

注:无论是求角还是求距离,其方法大致可以分为两类:一类是直接法,即作出所求的角和距离;另一类是转化法.

二题型示例

选择题

如图正四面体ABCD中,E在棱AB上,F在棱CD上使得

AE?CFEB FD

?? (??0),记f(?)??

??,其中?

? ? ?

表示EF与AC所成的角

? 表示EF与BD所成的角,则 A

?

(A)f(?)在(0,??)单调增加(B) f(?)在(0,??)单调减少E

(C) f(?)在(0,1)单调增加f(?)在(1,??)单调减少

(D) f(?)在(0,??)为一常数. B DF

C

三棱锥V-ABC,AH?侧面VBC,且H是?VBC的垂心,已知二面角H-AB—C平面角为300,则VC与平面ABC所成的角为()

(A)300 (B)600 (C)450 (D)900

? ?

? ? ? ? ? ?

异面直线间的距离为1,那么,这个正方体棱长可能的的值的集合是

2(A)?1? (B) 3 (C) 1, 3 (D) 1,

2

填空题

已知一平面与一正方体ABCD?ABCD

的12条棱的夹角都等于?,

1 1 1 1

则sin?? 异面直线BD

1 1

与AC的距离为

1

已知将给定的两个全等的正三棱柱的底面粘在一起恰得到一个所有二

面角都相等的六面体,并且设六面体的最短棱长2,则最远两个顶点距离为

在棱长3的正方体ABCD?ABCD中,E为棱AA上,且AE?1,F

1 1 1 1 1 1

为截面ABD内一动点,则AF?EF的最小值为

1

已知三棱锥P-ABC中,PA?底面ABC,AB=AC=BC=PA=a,AH?平面PBC

于H,则二面角B-PC-A的正弦为

解答题

(1)在正方体ABCD?ABCD 中,E为BC的中点,F在AA

上,且

1 1 1 1 1

AF:FA?1:2,求平面BEF与底面ABCD所成的二面角.

1 1 1 1 1 1

(2).设l,m是两条异面直线,在l上有三点A,B,C且AB?BC

10过A,B,C分别作m的垂线AD,BE,CF,垂足分别为D,E,F

10

已知AD?

BE?7

152

15

CF?

,求l与m的距离

(3)正四棱锥V-ABC底面边长为2,侧棱长为3,过底面AB的截面交侧棱VC

于P,(1)若P为VC中点,求截面面积(2)求截面PAB面积的最小值.

(4)

(5)