2024新高考数学基础知识梳理与课本优秀题目巩固-模块09-解三角形.pdf

模块九：解三角形

1、余弦定理

(1)余弦定理:三角形中任意一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们

.△,,.

夹角的余弦的积的两倍即在中角所对的边分别为有

222

∠=+

提示:在△中,若,则=,这就是勾股定理,余弦定理是勾股定理

2

,.()

的推广勾股定理是余弦定理的特例用不同方法给出证明

(2)余弦定理的推论及其变形

222

+−

cos=,

2+−=2cos

222

+−

推论:cos=, 变形:222

+−=2cos,

2

222

222+−=2cos

+−

cos=.

2

2

△∠cos0+−0+

由余弦定理知在中,若为锐角,则,从而,即

22222222

;∠,cos0,+−0,+;∠

若为钝角则从而即若为直

222

角则,cos=0,从而+=,可作为判断三角形形状的方法.

(3)(AP42)

余弦定理的证明阅读课本人教版必修二

2、正弦定理(用不同方法给出证明)

(1):,.△,

正弦定理在一个三角形中各边和它所对角的正弦的比相等在中角

,

所对的边分别为,.有

=

在正弦定理中,设==,研究常数与△接圆的半径的关系.

sinsinsin

(提示:先考虑直角三角形.)

(2)正弦定理的变形与推广

边化角。

1)=sinsin:sin

2)=2in=2in,=2in为△的外接圆半

径);.角化边.

3)sin=,sin=,sin=(为△的外接圆半径);

222

4)i