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相似三角形知识点整理

一、〔比例的有关性质〕：

合比性质：

合比性质：

〔比例根本定理〕

涉及概念：比的前项、后项，比的内项、外项、黄金分割等。

二、有关知识点：

1.相似三角形定义：

对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。

2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。

3.相似三角形的相似比：

相似三角形的对应边的比叫做相似比。

4.相似三角形的预备定理：

平行于三角形一边的直线和其他两边〔或两边的延长线〕相交，所截成的三角形与原三角形相似。

5.相似三角形的判定定理：

(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：

类型

斜三角形

直角三角形

全等三角形的判定

SAS

SSS

AAS〔ASA〕

HL

相似三角形

的判定

两边对应成比例夹角相等

三边对应成比例

两角对应相等

一条直角边与斜边对应成比例

从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边

成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的根底上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。

6.直角三角形相似：

(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

7.相似三角形的性质定理：

(1)相似三角形的对应角相等。

(2)相似三角形的对应边成比例。

(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

(4)相似三角形的周长比等于相似比。

(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。

相似三角形的传递性

如果△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2，那么△ABC∽A2B

三、注意

1、相似三角形的根本定理，它是相似三角形的一个判定定理，也是后面学习的相似三

角形的判定定理的根底，这个定理确定了相似三角形的两个根本图形“A”型和“8”型。

在利用定理证明时要注意A型图的比例，每个比的前项是同一个三

CADB.角形的三条边，而比的后项是另一个三角形的三条对应边，它们的位置不能写错，尤其是要防止写成

C

A

D

B.

相似三角形的根本图形

Ⅰ.平行线型：即A型和X型。

Ⅰ.相交线型

CE

C

E

D

B

A

3、掌握相似三角形的判定定理并且运用相似三角形定理证明

三角形相似及比例式或等积式。

4、添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。

相似三角形在生活中的应用

1、阳光通过窗口照到室内，在地面上留下1．6m宽的亮区DE，亮区一边到窗下的墙脚距离CE=3．6m，窗高AB=1．2m，那么窗口底边离地面的高度BC=m．

2、在△ABC中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿AB边向B点以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、

相似三角形习题

一填空题

1．如图1，∠1=∠B，AD=4，AB==6，那么AC=.

ABCED2．如图2，

A

B

C

E

D

DA

D

A

B

C

E

A

B

C

D

1

图1图2图3

3、如图3，AB//CD，AD与BC相交于点E，如果AB=2，CD=6，CE=5，

那么BC=．

4．如果两个相似三角形的对应高之比是4∶5，那么它们的面积之比是。

5．一个三角形三边长分别为5cm，8cm，12cm，另一个与它相似的三角形的最长边为4.8cm，那么另外两边长为cm和cm.

6．如图4，AB∥DE，AE与DB交于C,AC=2，AE=6，那么△ABC与△DCE的周长之比为.

图67．如图5，在中，E在BC的延长线上，且CE=BC，

图6

那么S△EFC︰SABCF＝．

图5

图5

图4

8．如图6，BE,CD是的边AC,AB上的中线,且相交于点F.

那么：=，=。

9．如图7,∠C=900，四边形DEFG是正方形，AE=4，

BF=9，那么正方形DEFG的面积是图7

10．如图8，AB⊥BD,CD⊥BD,AB=6,CD=16,BD=20,

一动点P从B向D运动，问当PB=时,

△PAB与△PCD是相似三角形

图8

二、选择题

11.以下四组图形中，不一定相似的是〔〕

A.两直角边之比为1∶2的两个直角三角形；

B.任意两个等边三角形；

C.有一锐角相等的两个直角三角形；