常微分复习题目答案.docx

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一、填空题：

、1 du??k(u?udt 0

、

)；2、y2

?x2

c；3、R2；4、二维线性空间；5、Axe?3x；6、y(x

0

)??

1

,y(x

0

)??；

2

177、变量分离； 8、 x2?x

1

7

； 9、e

??pdx

；10、(4,??)。

3 63

二、论述题：

?0?dy?f(x,y) x

?

0

1、提示：考虑初始问题 ?dx 和与之等价的积分方程： y?y

?f(t,y)dt；

??y(x

?

0

)?y x

00

0

dy

2、提示：考虑一阶线性微分方程

?p(x)y?q(x)和与之对应的齐次方程：

dy?p(x)y。

三、计算题：

dx dx

?cos2t ?

?sin2t?

1、x?2y

?c和y??2x；2、y?c

ex?c

e2x?1?xex； 3、Y?c

et??sin2t??cet?cos2t? 4、

1 2 1 ? ?

1 1

2 ? ?

y?0和y?4??x?

?ce?4x；5、y? .

4 1

x2?1

2

一、填空题：

1、u?y

x

； 2、??12

； 3、连续，存在且唯一； 4、一阶线性微分，ce?p(x)dx?e?p(x)dx?

Q(x)e??p(x)dxdx；

?M

5、x?X?1,y?Y?2；6、

??N

； 7、0； 8、Wronski 行列式W(x)?0；

??x?x

?y ?x

?x(1)?7

?9、?

?

?x

1

1

??7tx?2x

1

e?t

，?x(1)??2

?1

?

； 10、Acosx?Bsinx.

??二、论述

??

1、提示：考虑线性微分方程 Ly

L?y??0.

?y(n)?p

1

(x)y(n?1)? ?p

n

(x)y?f(t)和与之对应的齐次方程

2、提示：考虑微分方程

a(x)y11?a

0 1

(x)y?a

2

(x)y?0和它有幂级数解的条件.

三、计算题：

1 、 ln(x2?y2)?2arctany?c

x

； 2 、

y?c

1

ex?c

2

e3x? e?x?1

38

3

； 3 、

??4? ?2 ? ?1 ?

? ? ? ? ? ? 1 1

Y?c

ex?1 ??c

e2x??1??c

e3x??1?； 4、y?

；5、y?0， y?4

??x? ?ce?4x.

1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 1 4

?3 ? ??2? ??2? 2x2?1

一、填空题

1、C

1

?3,C

2

??1 2、二 3、可分离变量的、一阶非线性、非恰当型、不显含x的等都正确。 4、y? C 5、

1?ex

y?x2 6、 充分条件7、 n

二、选择题

8、D 9、B 10、A 11、A 12、B13、B14、A15、A

三、求下列各微分方程的通解或在初始条件下的特解

1: 解:(xy?1)ydx?xdy?0化为ydx?xdy?xy2dx?0

ydx?xdy ?x? 1 x 1

从而 ?xdx?0,d? ??d x2?0于是通解为 ? x2

?C.

y2 ?y? 2 y 2

2:解

dy ? y ?cos 2 y,y?0??1,令u ? y,则y?ux,于是 y=ux+u.

dx x x x

du dx

从而 ux+u=u+cos 2u,得到 ux?cos 2u化为 ? ,

cos 2u x

两边积分得到 tgu ?ln |x|?C,于是原方程的解为 tg

y ?ln |x|?Cx

从y(1) ?0推出 C ?0,得到求的解为 tg

四、求下列微分方程

?dx?x?2y

y ?ln |x|.

x

?解 ?dt

?

?dy?4x?3y

??dt