原创力文档- 1、本文档共6页，可阅读全部内容。
- 2、原创力文档（book118）网站文档一经付费（服务费），不意味着购买了该文档的版权，仅供个人/单位学习、研究之用，不得用于商业用途，未经授权，严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等，侵权必究。
- 3、本站所有内容均由合作方或网友上传，本站不对文档的完整性、权威性及其观点立场正确性做任何保证或承诺！文档内容仅供研究参考，付费前请自行鉴别。如您付费，意味着您自己接受本站规则且自行承担风险，本站不退款、不进行额外附加服务；查看《如何避免下载的几个坑》。如果您已付费下载过本站文档，您可以点击 这里二次下载。
- 4、如文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等，请点击“版权申诉”（推荐），也可以打举报电话：400-050-0827(电话支持时间：9:00-18:30)。
二次型和正定性的概念和证明
1.二次型的概念
二次型是一种特殊的数学表达式，通常形式为：
[Q(x)=x^TAx]
其中，(Q(x))是关于向量(x)的二次型，(A)是一个(nn)的对称矩阵，(x^T)表示向量(x)的转置，(x)是(n)维列向量。
2.正定性的概念
正定性是二次型的一种性质，指的是二次型对于所有的(n)维列向量(x)，都有(Q(x)0)。具体来说，一个二次型(Q(x))是正定的，当且仅当对于任意的(n)维列向量(x)，都有：
[Q(x)0]
3.正定性的证明
要证明一个二次型(Q(x))是正定的，我们需要证明对于任意的(n)维列向量(x)，都有(Q(x)0)。
假设(Q(x))不是正定的，即存在某个非零向量(x)使得(Q(x)0)。由于(Q(x))是二次型，我们可以将其写成：
[Q(x)=x^TAx]
由于(x)是非零向量，所以(x^Tx0)。因此，我们可以将(Q(x))写成：
[Q(x)=x^TAx=x^Tx]
由于(A)是对称矩阵，所以(x^TAx^T=(x^TAx)^T)。因此，我们可以将(Q(x))写成：
[Q(x)=(x^TAx)^T=(x^TAx)^T]
由于(Q(x)0)，所以((x^TAx)^T0)，即(x^TAx0)。
但是，由于(x^TAx)是(x)和(A)的函数，而(x)是非零向量，所以(x^TAx)至少为(0)。因此，我们得到(x^TAx=0)。
然而，这与我们的假设矛盾，因为我们假设(Q(x))不是正定的，即存在某个非零向量(x)使得(Q(x)0)，而我们已经证明了(Q(x)0)。因此，我们的假设是错误的，即二次型(Q(x))是正定的。
4.结论
二次型和正定性是矩阵理论中的重要概念。通过上述的讨论，我们可以得出以下结论：
二次型是一种特殊的数学表达式，通常形式为(Q(x)=x^TAx)，其中(A)是一个(nn)的对称矩阵，(x^T)表示向量(x)的转置，(x)是(n)维列向量。
正定性是二次型的一种性质，指的是二次型对于所有的(n)维列向量(x)，都有(Q(x)0)。
要证明一个二次型(Q(x))是正定的，我们需要证明对于任意的(n)维列向量(x)，都有(Q(x)0)。
通过理解这些概念和证明，我们可以更好地理解和应用##例题1：判断以下二次型是否正定
给定二次型：
[Q(x)=x^T
x]
计算矩阵(A)的特征值。
判断特征值的符号。
解：计算特征值，得到(_1=3,_2=-1)。因为有一个正特征值，所以该二次型不是正定的。
例题2：证明以下二次型是正定的
给定二次型：
[Q(x)=x^T
x]
直接判断二次型的形式。
解：该二次型是一个单位矩阵的形式，所以它是正定的。
例题3：判断以下二次型是否正定
给定二次型：
[Q(x)=x^T
x]
计算矩阵(A)的特征值。
判断特征值的符号。
解：计算特征值，得到(_1=4,_2=-2)。因为两个特征值都是正的，所以该二次型是正定的。
例题4：证明以下二次型不是正定的
给定二次型：
[Q(x)=x^T
x]
计算矩阵(A)的特征值。
判断特征值的符号。
解：计算特征值，得到(_1=0,_2=-2)。因为有一个负特征值，所以该二次型不是正定的。
例题5：判断以下二次型是否正定
给定二次型：
[Q(x)=x^T
x]
使用行列式判断法。
解：计算行列式，得到((A)=2)。因为行列式是正的，所以该二次型是正定的。
例题6：证明以下二次型是正定的
给定二次型：
[Q(x)=x^T
x]
使用迹数判断法。
解：计算迹数，得到((A)=4)。因为迹数是正的，所以该二次型是正定的。
例题7：判断以下二次型是否正定
给定二次型：
[Q(x)=x^T
x]
使用二次型标准化形。
解：将二次型化为标准形，得到(Q(x)=(x^T
x))。因为标准形的对角线都是正的，所以该二次型是正定的。
例题8：证明以下二次型不是正定的
给定二次型：
[Q(x)=x^T
x]
使用二次型标准化形。
解：将二次型化为标准形，得到(Q(x)=(x^T
x))。因为标准形的对角线都是负的，所以该二次型不是正定的。
例题9：判断以下二次型是否正定
给定二次型：
[Q(x)=##例题1：判断二次型的正定性
给定二次型：
[Q(x)=x^T
x]
计算矩阵
文档评论（0）