三角形全等模型（解析版）-初中数学.pdf

题型01倍长中线三角形全等模型

1如图，在△ABC中，AB=10，AC=6，则BC边上的中线AD的取值范围是．

【分析】延长AD至E，使DE=AD，由SAS证明△ACD≌△EBD，得出BE=AC=6，在

△ABE中，由三角形的三边关系求出AE的取值范围，即可得出AD的取值范围；

【解答】(1)解：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，如图1所示

∵AD是BC边上的中线，

∴BD=CD，

BD=CD

在△BDE和△CDA中，∠BDE=∠CDA，





DE=AE

∴△BDE≌△CDA(SAS)，

∴BE=AC=6，

在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB-BEAEAB+BE，

∴10-6AE10+6，即4AE16，

∴2AD8；

故答案为2AD8．

【点评】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质，通过作辅助线证明三角形全

等是解决问题的关键．

2如图，五边形ABCDE中，AB=BC=7，AE=ED=8，∠ABC+∠AED=180°，M为

边CD的中点，BM=9，EM=10，则五边形ABCDE的面积为=．

【分析】延长BM到F，使FM=BM，连接DF、EF、BE，易证△BCM≌△FDM，△ABE≌

1

△DFE，根据全等三角形的对应边相等，可得△BEF是等腰三角形，五边形的面积转化成了三

角形的面积，利用三角形的面积公式求解即可．

【解答】解：如图，延长BM到F，使FM=BM，连接DF、EF、BE，

BM=FM

在△BMC和△FMD中，∠BMC=∠FMD，





CM=DM

∴△BMC≌△FMD中(SAS)，

∴BM=FM，BC=FD=AB，∠C=∠FDM，

∵∠A+∠ABC+∠C+∠CDE+∠AED=(5-2)×180°=540°，

∵∠ABC+∠AED=180°，

∴∠A+∠C+∠CDE=360°，

∵∠CDE+∠CDF+∠EDF=360°，

∴∠A=∠EDF，

AB=DF

在△ABE和△DFE中，∠A=∠EDF，





AE=DE

∴△ABE≌△DFE(SAS)，

∴BE=EF，

∵BM=FM，

∴EM⊥BF，

∴S五边形ABCDE

=S+S+S

△ABE△BCM四边形BMDE

=S△BEF

1

=BF•EM

2

1

=×9×2×10

2

=90．

故答案为：90．

【点评】本题考查了多边形的内角和，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，添

辅助线将多边形的问题转化为三角形的问题是解题的关键．

3(1)如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接CE．

①证明△ABD≌△ECD；

2

②若AB=5，AC=3，设AD=x，可得x的取值范围是；

(2)如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点

F，连接EF，求证：BE+CFEF．

【分析】(1)①根据三角形的中线得出BD=CD，再由对顶角相等得出∠ADB=∠CDE，即可得

出结论；

②先由△ABD≌△ECD，得出CE=5，再由ED=AD，得出AE=2A