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27.2与圆有关的位置关系切线长定理
情境创设1、如下左图,点A在⊙O上,P是⊙O外一点,∠OAP是直角,PA是⊙O的切线吗?为什么?2、如何过⊙O外一点P作⊙O的切线,这样的切线能作几条?
结论小结如右图所示切线长定义:在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长。
在下图中,PA、PB是⊙O的两条切线,切点分别是A、B,沿直线OP将图形对折,你发现了什么?1、图形是对称图形,该图形关于对称;2、PA=,=∠BPO轴直线OPPB∠APO你能从理论上说明你的结论吗?请你尝试证明一下好吗?
证明:连接OA、OB∵PA、PB是⊙O的切线∴PA⊥OA、PB⊥OB即△POA、△POB是直角三角形又∵OA=OB、OP=OP∴△POA≌△POB∴PA=PB、∠APO=∠BPO已知如图,P是⊙O外一点,连接PO,PA、PB是⊙O的两条切线,切点分别是A、B,求证:PA=PB、∠APO=∠BPO
结论小结如右图所示切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
PA、PB分别切⊙O于A、BPA=PB∠1=∠2·OAB12符号表示
例题教学如图,PA、PB是⊙O的两条切线,切点分别是A、B,直线OP交⊙O于点D、E,交AB于点C.⌒⌒(1)AD与BD是否相等?为什么?(2)OP与AB有怎样的位置关系?为什么?⌒⌒解:(1)AD=BD∵PA、PB是⊙O的切线∴∠PAO=∠PBO=90°∠APO=∠BPO∴∠AOD=∠BOD∴⌒⌒AD=BD(2)∵PA、PB是⊙O的切线,A、B为切点∴PA=PB又∵∠APO=∠BPO∴OP⊥AB,AC=BC即OP垂直平分线段AB。
切线长定理的基本图形的研究PA、PB是⊙O的两条切线,A、B为切点,直线OP交于⊙O于点D、E,交AB于C。BAPOCED(1)写出图中所有的垂直关系OA⊥PA,OB⊥PB,AB⊥OP(3)写出图中所有的全等三角形△AOP≌△BOP,△AOC≌△BOC,△ACP≌△BCP(4)写出图中相等的圆弧(5)写出图中所有的等腰三角形△ABP,△AOB(6)若PA=4、PD=2,求半径OA(2)写出图中与∠OAC相等的角∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
(2)已知OA=3cm,OP=6cm,则∠APB=PABCO60°(4)OP交⊙O于M,则,ABOPAM=BM⌒⌒M⊥牛刀小试(3)若∠P=70°,则∠AOB=°110(1)若PA=4、PM=2,求圆O的半径OAOA=3
1、过圆外一点可以作圆的条切线,过圆上一点可以作圆的条切线。2、如图,⊙O的半径是5,P为⊙O外一点,PA、PB是⊙O的切线,A、B为切点,∠APB=90°,则PA=,PO=,AB=。3、如图,P是⊙O的直径AB的延长线上一点,PC、PD切⊙O于点C、D,若PA=6,⊙O的半径为2,则PC的长为,∠CPD=。(第2题)(第3题)2155√25√260°2√3
。PBAO反思:在解决有关圆的切线长的问题时,往往需要我们构建基本图形。(3)连结圆心和圆外一点(2)连结两切点(1)分别连结圆心和切点切线长定理为证明线段相等,角相等,弧相等,垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。
例1、如图,四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和圆⊙O分别相切于点L、M、N、P,求证:AD+BC=AB+CDDLMNABCOP证明:由切线长定理得∴AL=AP,LB=MB,NC=MC,DN=DP∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP即AB+CD=AD+BC补充:圆的外切四边形的两组对边的和相等.
练习1.(口答)如图所示PA、PB分别切圆O于A、B,并与圆O的切线分别相交于C、D,已知PA=7cm,(1)求△PCD的周长.(2)如果∠P=46°,求∠COD的度数C·OPBDAE
练习:已知:P为⊙O外一点,PA、PB为⊙O的切线,
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