原创力文档- 1、本文档共10页，可阅读全部内容。
- 2、原创力文档（book118）网站文档一经付费（服务费），不意味着购买了该文档的版权，仅供个人/单位学习、研究之用，不得用于商业用途，未经授权，严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等，侵权必究。
- 3、本站所有内容均由合作方或网友上传，本站不对文档的完整性、权威性及其观点立场正确性做任何保证或承诺！文档内容仅供研究参考，付费前请自行鉴别。如您付费，意味着您自己接受本站规则且自行承担风险，本站不退款、不进行额外附加服务；查看《如何避免下载的几个坑》。如果您已付费下载过本站文档，您可以点击 这里二次下载。
- 4、如文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等，请点击“版权申诉”（推荐），也可以打举报电话：400-050-0827(电话支持时间：9:00-18:30)。
- 5、该文档为VIP文档，如果想要下载，成为VIP会员后，下载免费。
- 6、成为VIP后，下载本文档将扣除1次下载权益。下载后，不支持退款、换文档。如有疑问请联系我们。
- 7、成为VIP后，您将拥有八大权益，权益包括：VIP文档下载权益、阅读免打扰、文档格式转换、高级专利检索、专属身份标志、高级客服、多端互通、版权登记。
- 8、VIP文档为合作方或网友上传，每下载1次， 网站将根据用户上传文档的质量评分、类型等，对文档贡献者给予高额补贴、流量扶持。如果你也想贡献VIP文档。上传文档
条件极值与拉格朗日乘数法
§4条件极值
一、何谓条件极值
在讨论极值问题时，往往会遇到这样一种情形，就是函数的自变量要受到某些条件的限制。决定一给定点到一曲面的最短距离问题，就是这种情形。我们知道点到点的距离为.现在的问题是要求出曲面上的点使为最小.即问题归化为求函数在条件下的最小值问题.
又如，在总和为C的几个正数的数组中，求一数组，使函数值为最小，这是在条件的限制下，求函数的极小值问题。这类问题叫做限制极值问题（条件极值问题）.
例1要设计一个容积为的长方体形开口水箱.确定长、宽和高,使水箱的表面积最小.
分别以、和表示水箱的长、宽和高,该例可表述为:在约束条件
之下求函数的最小值.
条件极值问题的一般形式是在条件组
限制下，求目标函数的极值.
对这种问题的解法有:化为无条件极值.
例1由解出,并代入函数中,得到,然后按,求出稳定点,并有,最后判定在此稳定点上取的最小面积.
然而,在一般情形下条件组中解出个变元并不总是可能的.下面介绍的拉格朗日乘数法就是一种不直接依赖消元而求解条件极值问题的有效方法.
二、条件极值的必要条件
设在约束条件之下求函数的极值.当满足约束条件的点是函数的条件极值点,且在该点函数满足隐函数存在条件时,由方程决定隐函数,于是点就是一元函数的极限点,有.代入,
对求偏导数,并令它们都等于0,则有
由上述方程组的前三式,易得.从而函数的稳定点为,.
为了判断是否为所求条件极(小)值,我们可把条件看作隐函数(满足隐函数定理条件),并把目标函数看作与的复合函数.这样,就可应用极值充分条件来做出判断.为此计算如下:
,,
,.
当时,
,.
由此可见,所求得的稳定点为极小值点,而且可以验证是最小值点.这样就有不等式
.
令,则,代入上不等式有
或.
用拉格朗日乘数法求解条件极值问题的一般步骤如下:
(1)根据问题意义确定目标函数与条件组.
(2)作拉格朗日函数,其中的个数即为条件组的个数.
(3)求拉格朗日函数的稳定点,即通过令,求出所有的稳定点,这些稳定点就是可能的极值点.
(4)对每一个可能的条件极值点,据理说明它是否确实为条件极值点.如果已知某实际问题或根据条件确有极值,而该问题的拉格朗日函数又只有一个稳定点,且在定义域的边界上(或逼近边界时)不取得极值,则这个稳定点就是所求的条件极值点.否则,还需要采用无条件极值的充分条件来判定.
文档评论（0）