第十八讲 等腰三角形（讲义）（解析版）-备战2022年中考数学一轮复习专题讲义+强化训练（全国通用）.pdfVIP

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第十八讲等腰三角形

一、三大必备知识点2

考点一等腰三角形的判定与性质3

考点二等边三角形的判定与性质6

考点三角平分线的判定与性质10

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一、三大必备知识点

一、等腰三角形

1．等腰三角形的性质

定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．

1

推论：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、

底边上的中线、底边上的高重合．

260°

推论：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于．

2．等腰三角形的判定

定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等

边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．

1

推论：三个角都相等的三角形是等边三角形．

260°

推论：有一个角是的等腰三角形是等边三角形．

330°

推论：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一

半．

二、等边三角形

1．定义：三条边都相等的三角形是等边三角形．

2．性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．

3．判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角

形．

三、角平分线与垂直平分线

1．性质：角平分线上的点到角两边的距离相等

2．性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等

考点一等腰三角形的判定与性质

1．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，且3BC＝2AD．点E、F是AD

的三等分点，则∠BEC+∠BFC+∠BAC＝180°．

【解答】解：∵3BC＝2AD，且E，F为AD三等分点，D为BC中点．

∴AD＝BC，即BD＝DE；

∴∠BED＝45°；

∴BE2＝2DE2＝EF•AE；

∵∠AEB＝∠BEF，

∴△BEF∽△AEB，

∴∠BFD＝∠ABE；

即∠ABE+∠BAD＝45°；

∴∠ABE+∠EBD+∠BAD＝90°，

∴∠BEC+∠BFC+∠BAC＝180°．

故答案为180°．

2．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，P在△ABC内，∠PBC＝10°，∠PCB

＝30°，则∠PAB＝70°．

【解答】解：在BC下方取一点D，使得三角形ABD为等边三角形，连接DP、DC

∴AD＝AB＝AC，

∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝20°，

∴∠ACD＝∠ADC＝80°，

∵AB＝AC，∠BAC＝80°，

∴∠ABC＝∠ACB＝50°，

∴∠CDB＝140°＝∠BPC，

又∠DCB＝30°＝∠PCB，BC＝CB，

∴△BDC≌△BPC，

∴PC＝DC，

又∠PCD＝60°，

∴△DPC是等边三角形，

∴△APD≌△APC，

∴∠DAP＝∠CAP＝∠DAC＝20＝10°，

∴∠PAB＝∠DAP+∠DAB＝10°+60°＝70°．

或由△BDC≌△BPC，

∴BP＝BD＝BA

∴∠BAP＝∠BPA

又∵∠ABP＝∠ABC﹣∠PBC＝40°

∴∠BAP＝（180﹣40）/2＝70°

故答案为70°．

3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，F是BC边上任意一点，过F作FD⊥AB于D