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常见的勾股数及公式

武安市黄冈实验学校 翟升华搜集整理

我们知道，如果∠C=90°，a、b、c是直角三角形的三边，则由勾股定理，得a2+b2=c2；反之，若三角形的三边a、b、c满足a2+b2=c2，则该三角形是直角三角形，c为斜边．与此相类似，如果三个正整数a、b、c满足a2+b2=c2，则称a、b、c为勾股数，记为（a，b，c）．勾股数有无数多组，下面向同学们介绍几种：

一、三数为连续整数的勾股数

（3，4，5）是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数，除此之外是否还有第二组或更多组呢？

设三数为连续整数的勾股数组为（x－１，x，x＋１），则由勾股数的定义，得（x+1）2+x2=（x+1）2，解得x＝４或x＝０（舍去），故三数为连续整数的勾股数只有一组（３，４，５）；类似有3n,4n,5n(n是正整数)都是勾股数。

二、后两数为连续整数的勾股数

易知：（５，１２，１３），（９，４０，４１），（１１３，６３３８，６３８５），…，都是勾股数，如此许许多多的后两数为连续整数的勾股数，它的一般形式究竟是什么呢？

a=2n+1,b=2n2+2n,c=2n2+2n+1（其特点是斜边与其中一股的差为1）.

分别取n＝１，２，３，…就得勾股数组（３，４，５），（５，１２，１３），（７，２４，２５），…三、前两数为连续整数的勾股数

你知道（２０，２１，２９），（１１９，１２０，１６９），（４０５９，４０６０，５７４１）…，这些都是

前两数为连续整数的勾股数组。其公式为：（x，x＋１， 2x2?2x?1）（x为正整数）。

设前两数为连续整数的勾股数组为（x，x＋１，y），y= 2x2?2x?1则x2

??x?1?2

?y2（＊）

2 2 ? ?2 2 ?

?? ?

整理，得2x ?2x?1＝y ，化为

2x?1

?2y ??1，即2x?1?

2y 2x?1? 2y＝－１，

22? ?? ? ? ? ? ?

2

2

22又1? 1?

2

2

＝－１，∴1?

2n?11?

2n?1＝－１（ｎ?Ｎ），

22? ? ? ? ? ? ? ?

2

2

故取2x?1? 2y

＝1?

2n?1，

2x?1? 2y

＝1?

2n?1，

222221 ? ? ? ? ? ? ? ?

2

2

2

2

2

解之，得x＝

4〔1?

2n?1＋1?

2n?1－２〕，y＝

4

〔1?

2n?1－1?

2n?1〕，

22221 ? ? ? ? 1 ? ? ? ?

2

2

2

2

故前两数为连续整数的勾股数组是（4〔1?

2n?1＋1?

2n?1－２〕， 〔1?

4

2n?1＋1?

2n?1－

222? ? ? ?

2

2

2

２〕＋１，4 〔1?

2n?1－1?

2n?1〕）．

四、后两数为连续奇数的勾股数

如(8，15，17),(12，35，37)…其公式为：4(n+1),4(n+1)2-1,4(n+1)2+1(n是正整数).五、其它的勾股数组公式：

1

1.a=2m,b=m2－1,c=m2+1（m大于1的整数）.2.a=2（m2－n2）,b=mn,c=

3.a=2m,b=m2－n2,c=m2+n2（mn,互质且一奇一偶的任意正整数）.下面我们把100以内的勾股数组列出来，供同学们参考：

1

2（m2+n2）（其中mn且是互质的奇数）.

345；51213；68

10；72425；81517；9

1215；940

41；10

2426；1160

61；1216

20；

12

35

37；13

84

85；14

48

50；15

20

25；15

36

39；15

112

113；16

30

34；16

63

65

17

144

145；18

24

30；18

80

82；19

180

181；20

21

29；20

48

52；20

99

101；21

28

35

21

72

75；21

220

221；22

120

122；23

264

265；24

32

40；24

45

51；24

70

74；24

143

145

25

60

65；25

312

313；26

168

170；27

36

45；27120

123；27

364

365；28

45

53；28

96

100

28

195

197；29

420

421；30

40

50；30

72

78；30 224

226；31

480

481；32