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7-3转动刚体内各点的速度和加速度
当刚体绕定轴转动时,刚体内任一点都作圆周运动,圆心在轴线上,圆周所
在的平面与轴线垂直,圆周的半径R等于该点到轴线的垂直距离。对此,宜采
用自然法研究各点的运动。
一、转动刚体上点的速度
1.点的弧坐标
设刚体由定平面A绕定轴O转动任一角度,到达位置B,其上任一点由
O运动到M,如图7-3所示。
图7-3
O
以固定点为弧坐标s的原点,按角的正方向规定弧坐标s的正向,于
是
sR
式中R为点M到轴心O的距离。
2.点的速度
将上式对t取一阶导数,得
dsd
R
dtdt
由于
dds
,v
dtdt
因此,上式可写成
vR(7-8)
即:转动刚体内任一点的速度的大小,等于刚体的角速度与该点到轴线的垂直距
离的乘积,它的方向沿圆周的切线而指向转动的一方。
3.横截面上的速度分布
用一垂直于轴线的平面横截刚体,得一截面。
根据上述结论,在该截面上的任一条通过轴心的直线上,各点的速度按线性
规律分布,如图7-4b所示。将速度矢的端点连成直线,此直线通过轴心。
在该截面上,不在一条直线上各点的速度方向,如图7-4a所示。
(a)(b)
图7-4
二、转动刚体上点的加速度
现在求点M的加速度。
因为点作圆周运动,因此应求切向加速度和法向加速度。
1.切向加速度
根据上一章式(6-20)和弧长s与转角的关系,得
atsR
由,因此
aR(7-9)
t
即:转动刚体内任一点的切向加速度(又称转动加速度)的大小,等于刚体的角
加速度与该点到轴线垂直距离的乘积,它的方向由角加速度的符号决定。
当是正值时,它沿圆周的切线方向,指向转角的正向;否则相反。
2.法向加速度
法向加速度为
v2(R)2
a
n
式中是曲率半径,对于圆,,因此
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