轨迹方程的求法.docx

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难点22 轨迹方程的求法

求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点.

●难点磁场

(★★★★)已知A、B为两定点，动点M到A与到B的距离比为常数λ,求点M的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲

线.

●案例探究

［例1］如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠

APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.

命题意图：本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的轨迹方程，属★★★★★级题目.知识依托：利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式建立线段AB中点的轨迹方程.

错解分析：欲求Q的轨迹方程，应先求R的轨迹方程，若学生思考不深刻，发现不了问题的实质，很难解决此题.

技巧与方法：对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程.

解：设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|.

(x?4)2?y2又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2

(x?4)2?y2

所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0

因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动.

设Q(x,y)，R(x

,y)，因为R是PQ的中点，所以x

=x?4,y

?y?0,

1 1 1 2 1 2

代入方程x2+y2－4x－10=0,得

(x?4

?

y x 4)2?( )2?4?

y x 4

－10=0

2 2 2

整理得：x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程.

［例2］设点A和B为抛物线y2=4px(p＞0)上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.(2000年北京、安徽春招)

命题意图：本题主要考查“参数法”求曲线的轨迹方程，属★★★★★级题目.知识依托：直线与抛物线的位置关系.

错解分析：当设A、B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)时，注意对“x1=x2”的讨论.

技巧与方法：将动点的坐标x、y用其他相关的量表示出来，然后再消掉这些量，从而就建立了关于x、y的关系.

解法一：设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)依题意，有

?

?

?

?y2

?4px ①

?1 1

2②?y2

2

②

?4px

2

?y

? 1?

x

2??1

y③x

y

③

? 1 2

?y y?y ④

? ? 1

2??1

?x x?x

?1 2

?

y?y

y?y ⑤

?1 2???1

?x?x x?x

1 2 1

1 2 1 2 1 2①－②得(y－y)(y+y)=4p(x－x

1 2 1 2 1 2

若x≠x

,则有

y?y 4p

1 2? ⑥

1 2 x?x

1 2

y?y

1 2

1 2 12①3②,得y22y2=16p2x

1 2 12

12③代入上式有yy=－16p2

12

⑥代入④，得 4p ??x ⑧

y?y y

1 2

⑥代入⑤，得

4p

y?y

???1

y?y

???1

y?y x?x y2

1 2 1

x?1

4p

所以 4p

4p(y?y)

???1

y?y

1 2

4px?y2

1

1 1 2 1 12即4px－y2=y(y+y)－y2－y

1 1 2 1 12

⑦、⑧代入上式，得x2+y2－4px=0(x≠0)

1 2当x=x时，AB⊥x轴，易得M(4p,0)仍满足方程

1 2

故点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0)它表示以(2p,0)为圆心