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高中数学知识点总结

一、集合与命题逻辑

对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

如：集合A??x|y?lgx?，B??y|y?lgx?，C??(x,y)|y?lgx?，A、B、C

中元素各表示什么？

进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集?的特殊情况。

注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

如：集合A??x|x2?2x?3?0?，B??x|ax?1?

若B?A，则实数a的值构成的集合为

（答：??1，0，1?）

? ?

3? ?

3

注意下列性质：

? ?

集合a，a

1

，??，a

2 n

的所有子集的个数是2n；

若A?B?A?B?A，A?B?B；

你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）

如：已知关于x的不等式

的取值范围。

ax?5?0的解集为M，若3?M且5?M，求实数ax2?a

（∵3?M，∴a·3?5?0

?? 3?∵5

?

? 3?

32?a

a·5?5?0

?a??1，5????9，25?）

52?a

可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”(?)，“且”(?)和

“非”(?).

若p?q为真，当且仅当p、q均为真

若p?q为真，当且仅当p、q至少有一个为真若?p为真，当且仅当p为假

命题的四种形式及其相互关系是什么？

（互为逆否关系的命题是等价命题。）

原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。注意命题的否定与否命题的区别

二、函数及其性质

函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？

（定义域、对应法则、值域）

x?

x?4?x?lg?x?3?2

例：函数y?

的定义域是

（答：?0，2???2，3???3，4?）

如何求复合函数的定义域？

如：函数f(x)的定义域是?a，b?，b??a?0，则函数F(x)?f(x)?f(?x)的定

义域是 。

（答：?a，?a?）

?求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？

?

?

如：f x?1 ?ex?x，求f(x).

令t? x?1，则t?0

∴x?t2?1

∴f(t)?et2?1?t2?1

∴f(x)?ex2?1?x2?1?x?0?

反函数存在的条件是什么？

（一一对应函数）

求反函数的步骤掌握了吗？

（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）

??1?x

?x?0?

如：求函数f(x)??

? ?的反函数

???x2

x?0

??x?1 ?x?1?

?x?（答：f?1(x)???

?x

?

?x?0?）

反函数的性质有哪些？

①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；

②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

③设y?f(x)的定义域为A，值域为C，a?A，b?C，则f(a)=b?f?1(b)?a

?f?1?f(a)??f?1(b)?a，f?f?1(b)??f(a)?b

如何用定义证明函数的单调性？

（取值、作差、判正负）

如何判断复合函数的单调性？

（y?f(u)，u??(x)，则y?f??(x)?

（外层）（内层）

?当内、外层函数单调性相同时f??(x)?为增函数，否则f??(x)?为减函数。）

?

如：求y?log

1

2

?x2

2x?的单调区间

（设u??x2?2x，由u?0则0?x?2

且log u?，u???x?1?2

1

2

?1，如图：

u

u

O

1

2

x

当x?(0，1]时，u?，又log1u?，∴y?

2

当x?[1，2)时，u?，又log

1

2

∴??）

u?，∴y?

如何利用导数判断函数的单调性？

在区间?a，b?内，若总有f(x)?0则f(x)为增函数。（在个别点上导数等于

零，不影响函数的单调性），反之也对，若f(x)?0呢？

如：已知a?0，函数f(x)?x3?ax在?1，???上是单调增函数，则a的最大

值是（ ）

A.0

B.1 C.2 D.3

?

（令f(x)?3x2?a?3?x?

?

a?? a?

??x? ??03?? 3?

a3则x?? a或x?

a

3

3

a3由已知f(x)在[1，??)

a

3

∴a的最大