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高中数学解题实战十法

一、了解十种方法

1、配方法

2、 换元法

3、 待定系数法

4、 定义法

5、 数学归纳法

6、 参数法

7、 反证法

8、 分析与综合法

9、 特殊与一般法

10、 类比与归纳法

二、实战举例讲解

一、配方法

配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。

最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。

配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：

a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；

3b

3

a2＋ab＋b2＝(a＋b)2－ab＝(a－b)2＋3ab＝(a＋2)2＋（2

1

b）2；

a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝2[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2]

a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)2－2(ab－bc－ca)＝?结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：

1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）2；

1 1 1

2x2＋ ＝(x＋

2

x

)2－2＝(x－ )2＋2；??等等。

x x

思考题：

在正项等比数列{a }中，a ?a +2a ?a +a ?a =25，则a ＋a ＝ 。

n 1 5 3 5 3 7 3 5

方程x2＋y2－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是 。

A. 1k1 B.k1或k1 C.k∈R D.k＝1或k＝1

4 4 4

已知sin4α＋cos4α＝1，则sinα＋cosα的值为 。

A.1 B. －1 C.1或－1 D.0

函数y＝log

1

2

(－2x2＋5x＋3)的单调递增区间是 。

A.（－∞, 5] B. [5,+∞) C. (－1,5] D.[5,3)

4 4 2 4 4

已知方程x2+(a-2)x+a-1=0的两根x 、x，则点P(x ,x)在圆x2+y2=4上，则

1 2 1 2

实数a＝ 。

【简解】1小题：利用等比数列性质a a ＝a

m?p m?p m

a ）2易求。答案是：5。

5

2，将已知等式左边后配方（a ＋

3

2小题：配方成圆的标准方程形式(x－a)2＋(y－b)2＝r2，解r20即可，选B。

二、换元法

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。

它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通

过变形才能发现。例如解不等式：4x＋2x－2≥0，先变形为设2x＝t（t0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。

三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角

x1?x

x

1?x

?

的值域时，易发现x∈[0,1]，设x

＝sin2α ，α∈[0,2]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中

主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x2＋y2＝r2（r0）

时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。

S S

均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝2

＋t，y＝2

－t等等。

我们使用换元法时，要