五年级数学最大公因数与最小公倍数(一).ppt

五年级数学最大公因数和最小公倍数〔一〕主讲教师：王丽萍

课前铺垫如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的约数。如果一个自然数同时是假设干个自然数的约数，那么称这个自然数是这假设干个自然数的公约数。在所有公约数中最大的一个公约数，称为这假设干个自然数的最大公约数。自然数a1，a2，…，an的最大公约数通常用符号〔a1，a2，…，an〕表示，例如，〔8，12〕=4，〔6，9，15〕=3。

课前铺垫如果一个自然数同时是假设干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这假设干个自然数的公倍数。在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这假设干个自然数的最小公倍数。自然数a1，a2，…，an的最小公倍数通常用符号[a1，a2，…，an]表示，例如[8，12]=24，[6，9，15]=90。

方法常用的求最大公约数和最小公倍数的方法：〔1〕分解质因数法〔2〕短除法。

课前提问质数、质因数和互质数是一回事吗？

根底热身1、a＝2×3×5，b＝3×3×5，a，b的最大公因数是〔 〕，最小公倍数是〔〕。2、a与b是互质数，a，b的最大公因数是〔〕，最小公倍数是〔〕。

新知学习例1：用60元钱可以买一级茶叶144克，或买二级茶叶180克，或买三级茶叶240克。现将这三种茶叶分别按整克数装袋，要求每袋的价格都相等，那么每袋的价格最低是多少元钱？

分析与解：因为144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶都是60元，分装后每袋的价格相等，所以144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶，分装的袋数应相同，即分装的袋数应是144，180，240的公约数。题目要求每袋的价格尽量低，所以分装的袋数应尽量多，应是144，180，240的最大公约数。

用短除法求最大公因数223

所以〔144，180，240〕=2×2×3=12，即每60元的茶叶分装成12袋，每袋的价格最低是60÷12=5〔元〕。

练习1.幼儿园的大班有36个小朋友，中班有48个小朋友，小班有54个小朋友。按班分组，三个班的各组人数一样多，问每组最多有〔??〕个小朋友。

练习2.有三根钢管，分别长200厘米、240厘米、360厘米。现要把这三根钢管截成尽可能长而且相等的小段，一共能截成多少段？

例2用自然数a去除498，450，414，得到相同的余数，a最大是多少？分析与解：因为498，450，414除以a所得的余数相同，所以它们两两之差的公约数应能被a整除。498-450=48，450-414=36，498-414=84。所求数是〔48，36，84〕=12。

练习有一堆桔子，按每4个一堆分少1个，按每5个一堆分也少1个，按每6个一堆分还是少1个。这堆桔子至少有多少个？

例3现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？

分析与解：只知道三个自然数的和，不知道三个自然数具体是几，似乎无法求最大公约数。只能从唯一的条件“它们的和是1111”入手分析。三个数的和是1111，它们的公约数一定是1111的约数。因为1111=101×11，它的约数只能是1，11，101和1111，由于三个自然数的和是1111，所以三个自然数都小于1111，1111不可能是三个自然数的公约数，而101是可能的，比方取三个数为101，101和909。所以所求数是101。

练习.两个小于150的数的积是2028，它们的最大公约数是13，求这两个数。

例4在一个30×24的方格纸上画一条对角线〔见以下图〕，这条对角线除两个端点外，共经过多少个格点〔横线与竖线的交叉点〕？

分析与解：〔30，24〕=6，说明如果将方格纸横、竖都分成6份，即分成6×6个相同的矩形，那么每个矩形是由〔30÷6〕×〔24÷6〕=5×4〔个〕

小方格组成。在6×6的简化图中，对角线也是它所经过的每一个矩形的对角线，所以经过5个格点〔见左以下图〕。在对角线所经过的每一个矩形的5×4个小方格中，对角线不经过任何格点〔见右以下图〕。所以，对角线共经过格点〔30，24〕-1=5〔个〕。

练习一块砖底面长22厘米,宽是10厘米,要铺成一个正方形地面(不要折断,只能铺整砖)至少要多少块砖?

例5 甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需要1分、1分15秒和1分30秒。三人同时从起点出发，最少需多长时间才能再次在起点相会？分析与解：甲、乙、丙走一圈分别需60秒、75秒和90秒，因为要在起点相会，即三人都要走整圈数，所以需要的时间应是60，75，90的公倍数。所求时间为[60，75，90]=900〔秒〕=15〔分〕。

练习爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过假设干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。”你知道爷爷和小明现在的年龄吗？

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