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常微分
一、填空题(每题3分,共30分)
1、u?u ?ce?kt是微分方程 的通解.
0
2、微分方程ydy?x的通解为 .
dx
3、方程dy?siny?cosx在区域 中满足解的存在与唯一性定理
dx
的条件.
4、方程y??x2y?3y?0的解空间构成 .
5、方程
d2y dy
? ? ?6y 3e?3x具有形如 的特
? ? ?
dx2 dx
6、二阶微分方程F(x,y,y?,y?)=0的初始条件是 .
7、形如dy?f(x)g(y)的方程为 方程。
dx
dy
8、用毕卡(Picard)逐次逼近法求方程
dx
?x2?y2,满足初值条件y(0)?0
的第二次近似解? (x)= .
2
9、?(x)? 是线性方程dy?[p(x)y?q(x)]dx的积分因子.
dy 1
10、方程
? y2通过点(6,-1)的解的存在区间为 .
dx 2
二、计算题(每题6分,共30分)
1、求解方程(2x?y)dx?(4x?2y)dy?0.
2、求解方程y??3y??2y?ex?2.
dY
3、求解方程组:
dt
?AY,A??1 2?.
?? ?
?? ?2 1
4、dy?y?xy5.dx
dy
5、求方程
dx
??xy2满足初始条件:y(0)?1的特解.
三、证明题(10分)
试 证 n 阶 非 齐 次 线 性 微 分 方 程
x(n)?a
1
(t)x(n?1)???a
n?1
(t)x??a
n
(t)x?f(t)
(其中a
1
(t), ,a
?n
?
(t)及f(t)都是[a,b]上的连续函数,f(t)不恒为零)存在n?1个
线性无关的解.
一、填空题(每题3分,共30分)
1、一阶方程y??
2y2(x?y)2
作变换 可化为变量可分离方程.
2、当?= 时,方程xydx??(x2?y2)dy?0是全微分方程.
3、如果函数p(x),q(x),f(x)在区间[a,b]上 ,则对于任一
x ?[a,b],方程
0
d2ydx2
p(x)dy
dx
q(x)y?f(x)满足初始条件y(x
0
)?? ,
1
y?(x)?? 的解在[a,b]上 .
0 2
4、形如y??p(x)y?Q(x)(p(x),Q(x)连续)的方程为 方程,它的通解为. .
5、一阶方程y??x?y?1作变换 可化为齐次方程.
x?y?3
6、一阶方程M(x,y)dx?N(x,y)dy?0(M(x,y),N(x,y)连续且有连续的一阶偏导数)为恰当方程的充要条件是 .
?y?
?y(x,x,y)
7、给定方程y??sin?
?
为 .
?,那么
x?
?x0 0 ,当x
00
0
?1,y
0
?0的表达式
8、若y
1
(x),y
2
(x), ,y
?n
?
(x)为方程y(n)?p
1
(x)y(n?1)? ?p
?n
?
(x)y?0
的连续解,它们在[a,b]上线性无关的充要条件是 .
9、与初值问题x??2x??7tx?e?t,x(1)?7,x?(1)??2等价的一阶方程组是 .
10、方程y??3y??3y??y?cosx有形如 的特解.
二、计算题(每题6分,共30分)
1、(y?x)dy?(x?y)dx?0.
2、y??4y??3y?3e?x?3.
?1 ?6 2?
? ?3、dY?AY,A??1 2 1?
? ?
dx ??2 2 3??
dy
4、求方程
dx
dy
??xy2满足初始条件:y(0
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