浅析排列组合中的重复计算问题-无锡洛社高级中学 .pdfVIP

例析排列组合中的重复计算的产生及对策

无锡市洛社高级中学戎钢

学生在解排列组合的题目时，往往容易出现考虑不周全，漏解的情况。另外有些类型

的排列组合题目较容易出现重复计算的问题，而且此类问题较隐蔽，学生不容易发现。在

解题时，应做到既不重复遗漏，又能判断解题的正误，并能加以剖析。这样对于学生解题

能力的提高大有好处。

一、分步引起的重复计算

例1:从4台甲型机和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙型机各1

台，则不同的取法有多少种？

【错解】先保证各1台，在从剩下的机子中任取一台。即分三步：第一步从甲型机中

取一台，有C1种取法；第二步从乙型机中取一台，有C1种取法；第三步从剩下的七台机

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子中取一台，有C种取法，根据乘法原理，共有CCC140种取法。

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【分析】设甲型机种有a、b两台机子，乙型机中有A、B两台机子，根据上述选法，

其中有一种取法可以是“先选a，再选A，再选b”,另外一种取法是“先选b，再选A，

再选a”。而很明显，上述两种取法是同一种结果，出现重复。

究其原因是本题使用的是分类计数原理（分步原理）。而分步必然有先有后，也就有

顺序，跟排列有关。本题中无论是取两台甲型机还是两台乙型机，对于这两台机而言，只

是一个组合，没有先后，因此重复了两遍。

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【正解】根据结果分类，第一类：两台甲型机，有CC种取法；第二类：两台乙型

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机，有CC种取法，根据分类计数原理，共有CCCC70种取法。

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二、涉及到平均分组中的重复计算

例2:袋中有红、白、黄球各一个，每次任取一球，记下颜色后放回，当各种颜色均被

取到时结束，则取球结束时，一共取了五次的不同取法有多少种？

【错解】由题意，第五次一定是第三种颜色的球。前四次取到其他两种颜色的球。先

分步，第五次有C1种颜色的可能，再分类讨论前四次的情况，第一类：剩下的两种颜色

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的球，一种颜色的取到三次，另外一种取到一次。分步完成，先选出一种颜色，被取到三

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次，有C种可能，然后这种颜色在前四次中被取到有C中情况，共有CC种情况；第

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二类，类似第一类，共有CC种情况，由分步原理共有C(CCCC)60种不

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同的取法。

【剖析】本题中在分类时涉及到平均分组的问题。在第二类中两种颜色各取到两次的

情况，计数重复。比如假设第五次取到白色，C1选取的是红色，在四次取球中，C2中前

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两次是红色，后两次是黄色，即红红黄黄白是其中一种情况；若C1选取的是黄色，在四