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数学建模（一） 学院：物理与光电信息科技学院学号：0810专业：通信与信息系统姓名：戴彩艳第1页第1页

数学建模起源

首先做个游戏一笔画出如图1图形来，规则：笔不离开纸面，每根线都只能画一次。你能画出来吗？假如你画出来了，那么请再看看图2能不能一笔画出来？图2图1第2页第2页

哥尼斯堡七桥问题提出关于这样一个游戏，要追溯到二百年前一个著名问题：哥尼斯堡七桥问题。濒临蓝色波罗海，有一座古老而美丽都市，叫做哥尼斯堡（今俄罗斯加里宁格勒）。布勒格尔河两条支流在这里汇合，然后横贯全城，流入大海。河心有一个小岛。河水把都市分成了４块，于是，人们建造了７座各具特色桥，把哥尼斯堡连成一体，如图3所表示。由于岛上有古老哥尼斯堡大学，有教堂，尚有哲学家康德坟场和塑像，因此城中居民，尤其是大学生们经常沿河过桥散步。渐渐地，爱动脑筋人们提出一个问题：一个散步者能否一次走遍7座桥，并且每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点？图3ADBC图4第3页第3页

哥尼斯堡七桥问题处理这个问题似乎不难，谁都愿意用它来测试一下自己智力。可是，谁也没有找到一条这样路线。连以博学著称大学教授们，也感到一筹莫展。“七桥问题”难住了哥尼斯堡所有居民。哥尼斯堡也因“七桥问题”而出了名。哥尼斯堡七桥问题传开后，引起了大数学家欧拉兴趣。欧拉没有去过哥尼斯堡，这一次，他也没有去亲自测试也许路线。他知道，假如沿着所有也许路线都走一次话，一共要走5040次。就算是一天走一次，也需要多时间，事实上．欧拉只用了几天时间就处理了七桥问题，得出了不也许不重复走完这七座桥结论。他是怎么样得出这样结论呢？第一步，欧拉把七桥问题抽象成一个适当“数学模型”。他想：两岸陆地与河中小岛，都是桥梁连接点，它们大小。形状均与问题本身无关。因此，不妨把它们看作是4个点。7座桥是7条必须通过路线，它们长短、曲直，也与问题本身无关。因此，不妨任意画7条线来表示它们。就这样，欧拉将七桥问题抽象成了一个如图4“一笔画”问题。如何不重复地通过7座桥，变成了如何不重复地画出一个几何图形问题。欧拉第4页第4页

哥尼斯堡七桥问题处理欧拉注意到，假如一个图能一笔画成，那么一定有一个起点开始画，也有一个终点。图上其它点是“过路点”---画时候要通过它。现在看“过路点”含有什么性质。它应当是“有进有出”点，有一条边进这点，那么就要有一条边出这点，不也许是有进无出，假如有进无出，它就是终点，也不也许有出无进，假如有出无进，它就是起点。因此，在“过路点”进出总边数应当是偶数，即“过路点”是偶点。假如起点和终点是同一点，那么它也是属于“有进有出”点，因此必须是偶点，这样图上全体点都是偶点。假如起点和终点不是同一点，那么它们必须是奇点，因此这个图最多只能有二个奇点。也就是说，能一笔画成图只有两类：一类是所有点都是偶点，另一类是只有二个奇点。现在对照图4，所有顶点都是奇点，共有四个，因此这个图必定不能一笔画成。偶数边—偶点奇数边—奇点第5页第5页

数学建模普通涵义数学建模——依据需要针对实际问题构建数学模型过程，亦即，通过抽象和简化，使用数学语言对实际现象和实际问题进行近似刻画，方便于更深刻地认识所研究对象。数学模型不是对现实系统简朴复制和模拟，而是通过对现实现象进行分析、提炼、归纳、升华结果，是以数学语言来正确地描绘现实对象基本内在特性，从而通过数学上演绎推理和分析，利用解析、试验（保持相同律成立）或数值求解。整个建模过程要注意高瞻远瞩、抓大放小，把握问题内在本质。当研究问题有了正确数学描述后，寻找适当数学工具分析求解。关于求解方法改进方面，要尽也许使所用方法准确化、细致化和全方面化。必须结合实例，就建模正确性、有效性、可用性和合用范围进行准确界定；对所产生误差和不确定性进行实事求是分析；对所得结果，必须从物理学视角和实际应用角度进行解读。第6页第6页

数学建模普通过程首先，基于一系列基本简化假设，把实际问题中数学描绘明确地表述出来，也就是说，通过对实际问题分析、归纳、简化，给出用以描述该问题数学提法；然后采用数学理论和办法进行求解，得出结论；最后再返回去阐释所研究实际问题，总结普通规律，在数学理论和所要处理实际问题之间构建一座桥梁。数学建模环节下列：1.通过调研，掌握实际问题背景材料：明确研究对象（如物理问题、工程问题）和研究目的，理解相关数据资料和基本事实（包括已有理论结果、观测结果、观测数据、试验资料等），提出清楚基本目的，并在实际研究过程中随时准备不断修正预期目的；第7页第7页

数学建模普通过程2.辨识