2024年北京高考数学真题（解析版）.docx

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绝密★本科目考试启用前

2024年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）

数学

本试卷共12页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1.已知集合，，则（）

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】直接根据并集含义即可得到答案.

【详解】由题意得.

故选：C.

2.已知，则（）．

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】直接根据复数乘法即可得到答案.

【详解】由题意得.

故选：C.

3.圆的圆心到直线的距离为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可.

【详解】由题意得，即，

则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为.

故选：D.

4.在的展开式中，的系数为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】写出二项展开式，令，解出然后回代入二项展开式系数即可得解.

【详解】的二项展开式为，

令，解得，

故所求即为.

故选：A.

5.设，是向量，则“”是“或”的（）．

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断.

【详解】因为，可得，即，

可知等价于，

若或，可得，即，可知必要性成立；

若，即，无法得出或，

例如，满足，但且，可知充分性不成立；

综上所述，“”是“且”的必要不充分条件.

故选：B.

6.设函数.已知，，且的最小值为，则（）

A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】B

【解析】

【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.

【详解】由题意可知：为的最小值点，为的最大值点，

则，即，

且，所以.

故选：B.

7.生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意分析可得，消去即可求解.

【详解】由题意得，则，即，所以.

故选：D.

8.如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，，该棱锥的高为（）.

A.1 B.2 C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】取点作辅助线，根据题意分析可知平面平面，可知平面，利用等体积法求点到面的距离.

【详解】如图，底面为正方形，

当相邻的棱长相等时，不妨设，

分别取的中点，连接，

则，且，平面，

可知平面，且平面，

所以平面平面，

过作的垂线，垂足为，即，

由平面平面，平面，

所以平面，

由题意可得：，则，即，

则，可得，

所以四棱锥的高为.

当相对的棱长相等时，不妨设，，

因为，此时不能形成三角形，与题意不符，这样情况不存在.

故选：D.

9.已知，是函数的图象上两个不同的点，则（）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.

【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即，

对于选项AB：可得，即，

根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误；

对于选项D：例如，则，

可得，即，故D错误；

对于选项C：例如，则，

可得，即，故C错误，

故选：B.

10.已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间距离的最大值，是表示的图形的面积，则（）

A.， B.，

C.， D.，

【答案】C

【解析】

【分析】先以t为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平面区域，结合图形分析求解即可.

【详解】对任意给定，则，且，

可知，即，

再结合x的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域，

如图阴影部分所示，其中，

可知任意两点间距离最大值；

阴影部分面积.

故选：C.

【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解．

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.抛物线的焦点坐标为