高中数学竞赛模拟试卷.docx

高中数学竞赛模拟试卷（3）班级 姓名

一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，满分36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1．记[x]为不大于x的最大整数，设有集合A?{x|x2?[x]?2}，B?{x||x|?2}，则A B?

3( )

3

3A．(－2，2) B．[－2，2] C．{

3

2 f?x???2x5?2x4?53x3?57x?54?2006

,?1} D．{?

?111?1?

f

,1}

．若 ，则?

?

?= ( )

2 ?

? ?

A．－1 B．1 C．2005 D．2007

四边形的各顶点位于一个边长为1的正方形各边上，若四条边长的平方和为t，则t的取值区间是 ( )

A．[1，2] B．[2，4] C．[1，3] D．[3，6]

平面上有两个定点 A、B，另有4个与A、B不重合的的动点C、C

1

、C、C

2 3 4

。若使

sin?AC

B??AC

i

B?1(i? j,i,j?1、2、3、4)，则称（C,C

j 3 i j

）为一个好点对。那么这样的好

点对 （ ）

A．不存在 B．至少有一个 C．至多有一个D．恰有一个

2等腰直角三角形?ABC中，斜边BC=4

2

，一个

椭圆以C为其焦点，另一个焦点在线段AB上，且

椭圆经过A，B两点，则该椭圆的标准方程是（焦点在x轴上）( )

6?4 24 2

6?4 2

4 2

y2 ?1 B．

x2 ?

y2 ?1

4 26?4 26?4 23?

4 2

6?4 2

6?4 2

3?4 2

?1 D．

x2 ? y2 ?1

3?4 26?4 2将正方形的每条边

3?4 2

6?4 2

A．1372 B．2024 C．3136 D．4495

二、填空题（本大题共6小题，每小题9，满分54请将正确答案填在横线上。）

等差数列{a }的前m项和为90，前2m项和为360，则前4m项和为 .

n

? ? ?x3?sinx?2a?0

?8．已知x,y?[? , ]，a?R，且?

?

4 4 ?4y3

?

1sin2y?a?0

2

，则cos?x?2y?的值为 .

6159．100只椅子排成一圈，有n个人坐在椅子上，使得再有一个人坐入时，总与原来的n个人中的一个坐在相邻的椅子上，则n的最小值为 .

6

15

在?ABC中，AB=

S

，AC=

30m

30

，BC=

，有一个点D使得AD平分BC并且?ADB是

直角，比值

?ADB

S

?ABC

能写成 的形式，这里m、n是互质的正整数，则m－n= .

n

设ABCD－ABCD

是棱长为1的正方体，则上底面ABCD的内切圆上的点P与过顶点A，

1 1 1 1

B，C，D

1 1

的圆上的点Q之间的最小距离是 .

min{a,b, 1

}的最大值为 .

a2?b2

三、解答题（本大题共3题，每题20分，共60分，解答要有必要的过程）

13．（本小题满分16分）是否存在最小的正整数t，使得不等式?n?t?n?t??1?n?3nntt对任何正整数n恒成立，证明你的结论。

14．（本小题满分18分）

设x，y，z为正实数，求函数f?x,y,z??

?1?2x??3y?4x??4y?3z??2z?1?xyz

15．（本小题满分22分）设A、B分别为椭圆x2

a2

y2

b2

?1 ?a

?b?0

?和双曲线x2

a2

y2

b?2

?1的公

?

共的左、右顶点。P、Q分别为双曲线和椭圆上不同于A、B的动点，且满足AP?BP??AQ?BQ

1???R,??1?。设直线AP、BP、AQ、BQ的斜率分别为k

1

、k、k

2 3

、k.

4

求证：k

1

+k+k

2 3

+k=0；

4

1 2设F、F分别为椭圆和双曲线的右焦点。若PF //QF，求k

1 2

2 1 1

k 2

2

k2

3

k 2的值。

4

高二数