2024徐州中考数学一轮复习之中考考点研究 一题一课 半角模型（课件）.pptx

一题一课半角模型满分技法【活动目的】运用所学的知识探究半角模型的特点及相关结论．活动一：正方形含半角【分析图形】如图①，在正方形ABCD中，点E、F分别为BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，连接EF.图①

满分技法【提出问题】请证明以下结论是否成立：EF＝BE＋DF.【解决问题】【方法一】补短法证明：如图，延长CD至点G，使得DG＝BE，图①G∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADG＝90°，在△ABE和△ADG中，

满分技法∴△ABE≌△ADG(SAS)，∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∴∠EAF＝∠FAG，在△AFE和△AFG中，图①G

∴△AFE≌△AFG(SAS)，∴EF＝GF＝DG＋DF＝BE＋DF.图①G

满分技法补短法的辅助线作法：找出相等的两条线段所在的两个直角三角形，延长其中一个直角三角形较短的直角边，使其等于另一个直角三角形较短的直角边的长度、连接公共端点即延长后的端点．

【方法二】旋转法证明：如图，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，使AD与AB重合，由旋转的性质可知，△ADF≌△ABG，G图①∴DF＝BG，AF＝AG，∠GAB＝∠FAD，∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠BAE＋∠FAD＝45°，∴∠BAE＋∠GAB＝45°，即∠EAG＝45°，∴∠EAG＝∠EAF，∴在△AFE和△AGE中，

∴△AFE≌△AGE(SAS)，∴EF＝EG，∵EG＝BG＋BE，∴EF＝BE＋DF.G图①

满分技法旋转法的辅助线作法：以公共端点为旋转中心，相等的两条线段的夹角为旋转角，旋转某一直角三角形，使相等的两直角边重合．

活动二：等腰直角三角形含半角【类比探究】如图②，在Rt△BAC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在BC边上，且∠DAE＝45°.图②

【提出问题】请证明以下结论是否成立：①DE2＝BD2＋CE2；②△ABE∽△DAE∽△ACD.【解决问题】【方法一】旋转法证明：如解图③，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACF，使AB与AC重合，根据旋转的性质可得，△BAD≌△CAF，∴∠BAD＝∠CAF，AD＝AF，CF＝BD，∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，解图③

∴∠BAD＋∠EAC＝45°，∴∠EAF＝∠EAD＝45°，在△AEF和△AED中，∴△AEF≌△AED(SAS)，∴EF＝ED，∵∠ABC＝∠ACB＝∠ACF＝45°，解图③

∴∠ECF＝90°，在Rt△ECF中，根据勾股定理可得，EF2＝EC2＋CF2，∴DE2＝BD2＋EC2，∴结论①成立；∵∠B＝∠ACB＝∠DAE＝45°，∴∠AEB＝∠ACB＋∠CAE＝45°＋∠CAE，∵∠BAE＝∠DAE＋∠BAD＝45°＋∠BAD，∠CAD＝∠DAE＋∠CAE＝45°＋∠CAE，解图③

∴∠AEB＝∠ADC，又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACD，∴△ABE≌△ACD.∵∠ADC＝∠B＋∠BAD＝45°＋∠BAD，∴∠ADC＝∠BAE，则△DAE∽△ABE，∴△ABE∽△ACD∽△DAE，∴结论②成立；∴结论①②均成立．解图③

【方法二】翻折法证明：如解图④，∵∠BAD＋∠CAE＝90°－∠DAE＝45°，AB＝AC，∴将△ABD和△AEC分别沿AD、AE翻折后，AB、AC翻折后重合在AG上，∴BD＝DG，CE＝GE，∵∠B＝∠C＝45°，∴∠AGD＝∠AGE＝45°，∴∠DGE＝90°，∴DG2＋GE2＝DE2，解图④

∴DE2＝BD2＋CE2.∴结论①成立；∵∠B＝∠C＝∠DAE＝45°，∴∠AEB＝∠C＋∠CAE＝45°＋∠CAE，∵∠BAE＝∠DAE＋∠BAD＝45°＋∠BAD，∠CAD＝∠DAE＋∠CAE＝45°＋∠CAE，∴∠AEB＝∠BAE＝∠CAD＝∠ADC，∠ADC＝∠B＋∠BAD＝45°＋∠BAD，解图④

∴△ABE∽△ACD∽△DAE，∴结论②成立；∴结论①②均成立．解图④

满分技法翻折法的思路：将等腰直角三角形的两腰分别沿45°角的两边折叠，使两直角边重合，两底角构直角．

活动三：含120°角的菱形中含半角【分析图形】如图③，已知四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，点E、F分别是BC、CD上的点，∠EAF＝60°，连接AE、AF.图③解：结论：△AEF是等边三角形．证明：如图，连接AC，四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∵∠BAD＝120°，∴△ABC和△ADC都是等边三角形，

∵∠EAF＝60°，∠BAD＝120°，∴∠EAC＋∠CAF＝60°，∵∠BAE＋∠EAC＝60°，∴∠CAF＝∠BAE，在△BAE和△CAF中，∴△BAE≌△CAF(ASA)，∴AE＝AF，∴△AEF是等边三角形．图③

【提出问题】请根据